Lineáris forma

Egy lineáris forma a lineáris algebrában egy lineáris leképezés, ami egy vektorteret a skalártestébe képez.

A funkcionálanalízisben topologikus valós vagy komplex vektorterek esetén többnyire folytonos lineáris funkcionálokat tekintenek lineáris formának.

Definíció

Legyen ${\displaystyle K}$ test, és legyen ${\displaystyle V}$ vektortér ${\displaystyle K}$ fölött. Egy ${\displaystyle f\colon V\to K}$ leképezés lineáris forma, ha minden ${\displaystyle x,y\in V}$ vektorra és ${\displaystyle \alpha \in K}$ skalárra

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ (additivitás);
2. ${\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}$ (homogenitás).

Egy adott ${\displaystyle V}$ vektortér feletti lineáris formák szintén vektorteret alkotnak annak skalárteste fölött, a vektortér ${\displaystyle V^{*}}$ duális vektorterét.

Tulajdonságok

A lineáris formák általános tulajdonságai:

• Ahogy a lineáris leképezéseket, úgy a lineáris formákat is meghatározzák az egy bázison felvett értékeik.
• Vagy triviálisak (azonosan ${\displaystyle 0_{K}}$) vagy szürjektívek.
• Ha két lineáris formának ugyanaz a magja, akkor egymás skalárszorosai.

A lineáris funkcionálok speciális jellemzői:

• Pontosan akkor folytonosak, ha magjuk zárt.
• Abszolútértékük félnorma ${\displaystyle V}$-n.
• A ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} }$ lineáris funkcionálok pontosan azok a ${\displaystyle x\mapsto \langle v,x\rangle }$ leképezések, ahol ${\displaystyle v\in \mathbb {K} ^{n}}$ egy vektor és ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ a standard skalárszorzat.

Lineáris forma, mint tenzor

Egy ${\displaystyle f}$ lineáris forma elsőfokú kovariáns tenzor; emiatt néha 1-formának is nevezik. Az 1-formák a differenciálformák bevezetésének alapját alkotják.

Kapcsolódó fogalmak

Ha ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$, és a második feltételt arra cseréljük, hogy ${\displaystyle f(\alpha x)={\overline {\alpha }}f(x)}$ , ahol ${\displaystyle {\overline {\alpha }}}$ a komplex konjugálás, akkor szemilineáris formához jutunk.

Egy többváltozós leképezés, ami minden változójában lineáris vagy szemilineáris, lehet szeszkvilineáris forma, bilineáris forma vagy multilineáris forma.

Lásd még

Forma (algebra)

Források

[ http://eom.springer.de/L/l059210.htm Linear form. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010]

• Gerd Fischer. Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger, 16., überarbeitete und erweiterte, Wiesbaden: Vieweg+Teubner, 280–281. o. (2008) 
• Harro Heuser. [MR2380292 Funktionalanalysis. Theorie und Anwendung], 4., Wiesbaden: B. G. Teubner (2006) 
• Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert. [MR0366944 Lineare Algebra I]. Berlin (u. a.): Springer Verlag (1974) 
• Walter Rudin: Functional Analysis, 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
• Dirk Werner. Funktionalanalysis. 5., erw. Auflage. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg (2005) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.