Lineáris burok

Egy ${\displaystyle a}$ vektor és lineáris burka, ${\displaystyle \operatorname {span} (a)}$

A lineáris algebrában egy vektortér részhalmazának lineáris burka, más néven lineáris lezártja, generált vektortere azokból a vektorokból áll, amelyek előállnak a részhalmaz elemeinek, mint vektoroknak lineáris kombinációjaként, a vektortér alaptestének elemeivel, mint együtthatókkal. A lineáris burok altér, mégpedig a legkisebb altér, ami a halmaz minden elemét tartalmazza.

Definíció

A kék sík a ${\displaystyle v_{1}}$ és ${\displaystyle v_{2}}$ veltorok lineáris burka. (${\displaystyle v}$ a két vektor lineáris kombinációja)

Konstruktív definíció

Legyen ${\displaystyle V}$ vektortér a ${\displaystyle K}$ test fölött, és ${\displaystyle A\subset V}$ részhalmaza a ${\displaystyle V}$ vektortérnek! Ekkor ${\displaystyle A}$ lineáris burka:

${\displaystyle \langle A\rangle =\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}\right|\lambda _{i}\in K,a_{i}\in A,n\in \mathbb {N} \right\}}$^[1]

A lineáris burok ${\displaystyle a_{i}}$ elemeinek összes lineáris kombinációja.

Ha ${\displaystyle A}$ véges, akkor a definíció a következőre egyszerűsödik:

${\displaystyle \langle \{a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n}\}\rangle =\{\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\dotsb +\lambda _{n}a_{n}\mid \lambda _{1},\lambda _{2},\dotsc ,\lambda _{n}\in K\}}$.

Az üres halmaz lineáris burka a nullvektortér, vagyis

${\displaystyle \operatorname {span} (\emptyset )=\{0\}}$,

mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor.

További definíciók

A konstruktív definícióval ekvivalens definíciók:

• Egy ${\displaystyle V}$ vektortér ${\displaystyle A}$ részhalmazának lineáris burka a legkisebb vektortér, ami tartalmazza az ${\displaystyle A}$ halmazt
• Egy ${\displaystyle V}$ vektortér ${\displaystyle A}$ részhalmazának lineáris burka az a vektortér, ami előáll az ${\displaystyle A}$ halmazt tartalmazó alterek metszeteként

Jelölés

Egy ${\displaystyle A}$ halmaz lineáris burkának jelölése ${\displaystyle \operatorname {span} (A)}$, vagy ${\displaystyle \operatorname {span} {[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]}}$, ha ${\displaystyle A}$ véges.

Tulajdonságok

Legyenek ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ részhalmazok a ${\displaystyle K}$ test fölötti ${\displaystyle V}$ vektortérben; ekkor:

• ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {span} (A)}$
• ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \operatorname {span} (A)\subseteq \operatorname {span} (B)}$
• ${\displaystyle \operatorname {span} (A)=\operatorname {span} (\operatorname {span} (A))}$

Mivel ezek a tulajdonságok teljesülnek, azért a lineáris burokképzés burokoperátor.^[2]

Teljesülnek továbbá:

• Egy ${\displaystyle V}$ vektortér részhalmazának lineáris burka altere ${\displaystyle V}$-nek
• Egy ${\displaystyle V}$ vektortér ${\displaystyle U}$ alterének lineáris burka ${\displaystyle U}$
• Vektorok egy halmaza lineáris burkának generátorrendszere. Ha vektorok egy halmaza generál egy alteret, akkor a vektorhalmaz lineáris burka az altér.
• Két altér, ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ összege, ${\displaystyle U_{1}+U_{2}=\{u_{1}+u_{2}\mid u_{1}\in U_{1},u_{2}\in U_{2}\}}$ uniójuk lineáris burka. Tehát ${\displaystyle U_{1}+U_{2}=\operatorname {span} (U_{1}\cup U_{2})}$
• Legyen egy vektortér altereinek halmaza ${\displaystyle T}$; ekkor bevezethető egy kétaritású művelet, ami veszi az operandusok uniójának lineáris burkát. Ennek a duális művelete a metszetképzés. Ezekkel a műveletekket ${\displaystyle T}$ háló.
• Ha ${\displaystyle U,V}$ ugyanannak a térnek az altere, akkor a lineáris burokra teljesül a dimenziótétel:

${\displaystyle \dim(U+V)+\dim(U\cap V)=\dim U+\dim V}$.

Példák

• Egyetlen ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$ vektor ${\displaystyle \operatorname {span} (a)}$ lineáris burka egy origón áthaladó egyenes
• A ${\displaystyle (3,0,0)}$ és a ${\displaystyle (0,2,0)}$ vektorok az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ vektortérnek. Lineáris burkuk ${\displaystyle \operatorname {span} ((3,0,0),(0,2,0))}$ éppen az ${\displaystyle x}$-${\displaystyle y}$ sík.
• Legyen ${\displaystyle K[[X]]=\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }\lambda _{k}X^{k}\right|(\lambda _{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in K^{\mathbb {N} _{0}}\right\}}$ a formális hatványsorok vektortere a ${\displaystyle K}$ test fölött, és legyen ${\displaystyle A=\{X^{k}\mid k\in \mathbb {N} \}}$ a monomok halmaza. Ekkor ${\displaystyle A}$ lineáris burka a polinomok halmaza:

  ${\displaystyle \operatorname {span} (A)=\left\{\left.\textstyle \sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}X^{i}\right|n\in \mathbb {N} ,\lambda _{0},\dotsc ,\lambda _{n}\in K\right\}=K[X]}$.

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4, 384 Seiten.

Jegyzetek

1. Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30
2. Dietlinde Lau: Algebra und Diskrete Mathematik 1. Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Hülle című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.