Koszinusztétel

Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

vagy másként:

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}$

Bizonyítások

Háromszögekre bontással

A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.

Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

${\displaystyle c^{2}\,}$	${\displaystyle =(b-a\cos(\gamma ))^{2}+(a\sin(\gamma ))^{2}\,}$
	${\displaystyle =b^{2}-2ab\cos(\gamma )+a^{2}(\cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma ))\,}$
	${\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ),\,}$

felhasználva a ${\displaystyle \cos ^{2}(\gamma )+\sin ^{2}(\gamma )=1\,}$ trigonometriai azonosságot. QED

Megjegyzés

Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha ${\displaystyle b<a\cos(\gamma )}$. Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy ${\displaystyle b-a\cos(\gamma )}$ helyett ${\displaystyle a\cos(\gamma )-b}$ szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

Vektorok segítségével

Az ${\displaystyle ABC}$ háromszög adott. ${\displaystyle C}$-ből indítsuk a helyvektorokat. ${\displaystyle A}$-ba mutató vektor legyen ${\displaystyle a}$. ${\displaystyle B}$-be mutató vektor legyen ${\displaystyle b}$. Az ${\displaystyle a}$ és ${\displaystyle b}$ vektorok hajlásszöge legyen ${\displaystyle \gamma }$.

Ekkor ${\displaystyle c=a-b}$ ⇒ ${\displaystyle c^{2}=(a-b)^{2}}$ ⇔ ${\displaystyle |c|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-2|a||b|\cos \gamma }$. (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Koordinátarendszerben

Koszinusztétel bizonyítása koordináta-rendszerben

Helyezzük el az ${\displaystyle ABC\triangle }$-et derékszögű Koordináta-rendszerben úgy, hogy a ${\displaystyle C}$ csúcs az origóba essen, és a ${\displaystyle B}$ csúcs az x tengelyre kerüljön. A háromszögben legyen adott ${\displaystyle CA=b,\,CB=a}$ oldal és a ${\displaystyle BCA\angle =\gamma }$ szög, így a ${\displaystyle B}$ csúcs koordinátái ${\displaystyle B(b,0)}$. Ekkor az ${\displaystyle A}$ csúcs koordinátái ${\displaystyle A(b\cos \gamma ;b\sin \gamma )}$.^{[* 1]} Az ${\displaystyle AB=c}$ oldal hosszúságára a Pitagorasz-tétel alkalmazásával kapjuk:

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=\left(b-a\cos \gamma \right)^{2}+\left(0-a\sin \gamma \right)^{2}\\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\cos ^{2}\gamma -2ab\cos \gamma +a\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&=b^{2}+a^{2}\underbrace {\left(\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma \right)} _{=1}-2ab\cos \gamma \\c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \end{aligned}}}$

QED

Megjegyzés

A bizonyítás során nem kellett figyelembe venni a két oldal által bezárt szög típusát, ezért bármilyen háromszögre általánosan igaz. Emellett minimalista abban a tekintetben, hogy a lehető legkevesebb előfeltétellel él (pont koordinátái, Pitagorasz tétele).

Alkalmazások

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Megjegyzések

1. Ezt akár a polárkoordinátákból, akár az A pont vetületeiből ki tudjuk deríteni.

Források

• Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Kapcsolódó szócikkek

• Tangenstétel
• Szinusztétel
• Kotangenstétel
• Vetületi tétel
• Trigonometrikus azonosságok
• Mollweide-formula