Hausdorff-dimenzió

A Hausdorff-dimenzió vagy Hausdorff–Besicovitch-dimenzió a fraktáloknál használt dimenziófogalom, a hagyományos (Bolzano/Uriszon-féle), pozitív egész számokkal (1,2,3,...) mérhető dimenziófogalom általánosítása. A Hausdorff-féle dimenzió nem feltétlenül egész szám (általában irracionális).

A Hausdorff-dimenzió bevezetését az indokolja, hogy bizonyos alakzatok (a legismertebb példa a fraktálok sokasága), bár „topológiai” dimenziójuk egyszerűen mérhető, de dimenzióbeli mértékük (terület, térfogat, ...) mégis paradox értékeket ad. Például a Peano-görbe egy intuitíve egydimenziós görbe, amely azonban teljesen, egyszeresen és hézagtalanul lefed egy négyzetet (tehát bizonyos szempontból inkább kettő-, mintsem egydimenziós); a Sierpiński-szőnyeg viszont lefed - igaz, közel sem hézagtalanul - egy négyzetet, ellenben a területe 0, akárcsak az egydimenziós alakzatoké.

A Hausdorff-dimenzió meglehetősen egyszerű tapasztalaton alapul. Egy közönséges kétdimenziós alakzatot, mint pl. egy négyzetet, ha kétszeresére, háromszorosára ..., ${\displaystyle k}$-szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat négy, kilenc, ..., ${\displaystyle k^{2}}$ példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a terület a nagyításnak a dimenzióra (2) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető területű, de területtel azért rendelkező alakzatoknál hasonló a helyzet). Egy egyszerű háromdimenziós alakzatot, mondjuk kockát, ha kétszeresére, háromszorosára, ..., ${\displaystyle k}$-szorosára nagyítunk, akkor az így keletkezett nagyobb alakzatot az eredeti alakzat nyolc, huszonhét, ..., ${\displaystyle k^{3}}$ példányával fedhetjük le teljes egészében, vagyis a térfogat a nagyításnak a dimenzióra (3) emelt kitevőjű hatványszorosára nő (nehezebben mérhető térfogatú, de térfogattal azért rendelkező alakzatoknál is hasonlóképp van). Általában elmondható, hogy egy közönségesen ${\displaystyle d}$ dimenziós alakzatot ha ${\displaystyle k}$-szorosára nagyítunk, akkor mértéke ${\displaystyle T(k)=k^{d}}$-szeresére nő, tehát az alakzat dimenziója a ${\displaystyle T(k)}$ ${\displaystyle k}$ alappal felírt hatványának kitevője, vagyis ${\displaystyle \log _{k}(T(k))}$, melyre érvényes – tetszőleges egytől különböző pozitív valós alapú – logaritmust (pl. a tízest) választva:

${\displaystyle d=\log _{k}\left(T(k)\right)={\frac {\log \left(T(k)\right)}{\log \left(k\right)}}}$^[1]

Nehezebben mérhető alakzatok esetében bonyolultabb gondolatmenet szükséges, de a végeredmény ugyanez. A fenti ${\displaystyle d}$ Hausdorff-dimenzió finomabban méri egy alakzat kiterjedését, mint a topológiai dimenzió és a Lebesgue-mértékek.

A fogalmat Felix Hausdorff német matematikus vezette be 1918-ban, kiszámításának egyes technikáit pedig Abram Samoilovitch Besicovitch dolgozta ki.

Definíció

Legyen A a vizsgált halmaz, és legyen ${\displaystyle \{B_{1},B_{2},\ldots \}}$ gömbök egy olyan sorozata, amik együttesen lefedik A-t. Ha a gömbök sugara rendre ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots }$, akkor a lefedőrendszer d rendű Hausdorff-mértéke ${\displaystyle \sum _{i}r_{i}^{d}}$, magának A-nak a d rendű Hausdorff-mértéke pedig a lehetséges lefedőrendszerek d rendű Hausdorff-mértékeinek infimuma.

A Hausdorff-dimenziója azon d-k infimuma, amelyekre a d rendű Hausdorff-mérték nulla (vagy másképp, azon d-k szuprémuma, amelyekre végtelen).

Egyszerű eset

Sierpinski-háromszög

A legismertebb fraktálok önhasonlóak: olyan részekből állnak össze, amelyek mindegyike nagyítással az egészbe vihető. Például a képen látható Sierpiński-háromszöget (amely úgy áll elő, hogy egy szabályos háromszögből kivesszük az oldalfelező pontok által meghatározott belső háromszöget, majd az így nyert háromszögekből is, és így tovább a végtelenségig) három kisebb háromszög alkotja, amelyek mindegyike feleakkora, mint az eredeti. Belátható, hogy ha egy fraktál k olyan alkotóelemből áll össze, amelyek mindegyikének r-szerese az eredeti, akkor a Hausdorff-dimenziója ${\displaystyle \log k/\log r}$. A Sierpinski-háromszögnek így ${\displaystyle \log 3/\log 2\approx 1{,}58}$ a Hausdorff-dimenziója. (Általánosabban, ha az egyes alkotóelemek ${\displaystyle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{i}}$ arányban kisebbek az egésznél, akkor a Hausdorff-dimenzió az az s szám, amelyre ${\displaystyle \sum _{i}r_{i}^{s}=1}$ teljesül.)

Példák

• az n dimenziós euklideszi tér és az n dimenziós hipergömb Hausdorff-dimenziója n.
• megszámlálható ponthalmazok Hausdorff-dimenziója 0.
• a Cantor-halmaz Hausdorff-dimenziója ${\displaystyle \ln 2/\ln 3\approx 0{,}63}$
• a Sierpiński-szőnyeg Hausdorff-dimenziója ${\displaystyle \ln 8/\ln 3\approx 1{,}89}$
• a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója ${\displaystyle \ln 20/\ln 3\approx 2{,}73}$
• a Koch-hópehely Hausdorff-dimenziója ${\displaystyle \ln 4/\ln 3\approx 1{,}26}$
• térkitöltő görbék (pl. a Peano-görbe vagy a Sierpinski-görbe) Hausdorff-dimenziója megegyezik annak az alakzatnak a dimenziójával, amit kitöltenek.
• a (legalább kétdimenziós) Brown-mozgás pályájának Hausdorff-dimenziója majdnem biztosan 2.

Hivatkozások

1. Mivel a logaritmusalap tetszőleges egytől különböző pozitív valós szám lehet, nem mindig szokás feltüntetni a képletben.

További információk

• P. W. Thompson: What is Required to Understand Fractal Dimension? („Mi szükséges a fraktáldimenzió megértéséhez?”). TMEO, 11./1 (2000); beill. 2010. 09. 19.