Green–Tao-tétel

A Green–Tao-tétel Ben Green és Terence Tao nagy port felvert számelméleti eredménye.

A tétel szerint, ha A egy olyan prímszámokból álló halmaz, aminek relatív sűrűsége pozitív, azaz van olyan c pozitív valós szám, hogy végtelen sok x számra A x-ig legalább a prímszámok c-edrészét tartalmazza, akkor A-ban van tetszőlegesen hosszú számtani sorozat. Már az az állítás, hogy van tetszőlegesen hosszú, prímekből álló számtani sorozat, a számelmélet egy régi, nevezetes problémáját oldja meg.

Története

A számelmélet e nevezetes sejtése tulajdonképpen egyik matematikus nevéhez sem fűződik. Feltehetően már Joseph Louis Lagrange és Edward Waring felvetette 1770-ben, amikor azt vizsgálták, egy n hosszúságú, prímszámokból álló számtani sorozat differenciája mekkora lehet.

Vinogradov Goldbach-sejtéssel kapcsolatos nevezetes tételének módszerét alkalmazva igazolta Johannes van der Corput^[1] és Theodor Estermann,^[2] hogy végtelen sok, prímekből álló, háromtagú számtani sorozat létezik. A továbblépés már nagyon nehéz volt: csak 1981-ben igazolta^[3] Roger Heath-Brown, hogy van végtelen sok négytagú számtani sorozat, amiben van három prímszám és a negyedik tagja legfeljebb két prímszám szorzata. Egy másik irányban Balog Antal 1992-ben bebizonyította^[4] hogy minden k-ra van k prímszám, ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$, hogy a ${\displaystyle (p_{i}+p_{j})/2}$ átlagok (${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$) különböző prímszámok. Ebből és abból, hogy minden ${\displaystyle n\geq 3}$, ${\displaystyle n\neq 6}$ értékre van két ortogonális latin négyzet, már következik, hogy minden ${\displaystyle n\geq 3}$-ra van csupa különböző prímből álló ${\displaystyle n\times n}$-es bűvös négyzet.

Green és Tao 2004-ben igazolta nevezetes tételét^[5] abban a sokkal erősebb formában, hogy minden olyan prímszámokból álló A halmaz tartalmaz tetszőleges hosszúságú számtani sorozatot, aminek pozitív a relatív sűrűsége, azaz ${\displaystyle \lim \inf A(x)/\pi (x)>0}$ ahol A(x) az a halmaz x-nél kisebb tagjainak száma, ${\displaystyle \pi (x)}$ pedig a prímek száma x-ig.

A tételt 2006-ban Tao és Tamar Ziegler kiterjesztette polinomérték-különbségű sorozatokra. Azt bizonyították tehát, hogy ha ${\displaystyle p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)}$ egész együtthatós, 0 konstans taggal rendelkező polinomok, akkor van végtelen sok olyan egész ${\displaystyle (a,b)}$ számpár, hogy ${\displaystyle a+p_{1}(b),\dots ,a+p_{k}(b)}$ valamennyien prímek.

2007-ben Tao igazolta a Gauss-prímekre vonatkozó állítást: ha ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{k}}$ Gauss-egészek, akkor van ${\displaystyle r}$ pozitív egész szám és a Gauss-egész, hogy ${\displaystyle a+rb_{1},\dots ,a+rb_{k}}$ valamennyien Gauss-prímek.^[6]

Green-Tao-tétel a művészetben

Sin Oliver, Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi, 2012
Modessqe Collection

Sin Oliver 2012-es Green-Tao Theorem with Endre Szemeredi című festménye a tétel egy vizuális absztrakciója.^[7]

Hivatkozások

1. J. G. van der Corput: Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten. Math. Annalen, 116(1939), 1-50.
2. T. Estermann: On Goldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes, Proc. London Math. Soc., 44(1938), 307-314.
3. D. R. Heath-Brown: Three primes and an almost prime in arithmetic progression, J. London Math. Soc., 23(1981) 396-414.
4. A. Balog: Linear equations in primes, Mathematika, 39(1992), 367-378.
5. B. Green, T. Tao: The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, [1] Archiválva 2017. július 10-i dátummal a Wayback Machine-ben
6. T. Tao: The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations Archiválva 2007. augusztus 12-i dátummal a Wayback Machine-ben, J. d’Analyse Mathematique, 99(2006), 109-176.
7. (2024. április 30.) „Oliver Sin, Interview”.