Euklideszi geometria

A görög tudósok az egyiptomi geométerek – földmérők – tapasztalatainak rendszerezésével olyan tudományt alkottak, amelyet ma geometriának nevezünk. Az Eukleidész munkájában (Elemek) ránk hagyományozott rendszer kétezer évig a világnézet egyik pillérének számított: feltételeztük, hogy az univerzum tapasztalati tere pontosan olyan szerkezetű, mint az euklideszi elmélet által leírt absztrakt tér. A rá épülő geometriát nevezzük euklideszi geometriának.^[1]

Euklideszi párhuzamosság

Eukleidész az Elemek I. könyvében definiálja az egyenesek párhuzamosságát: Két egyenest párhuzamosnak nevez, ha azok egy síkban fekszenek és mindkét irányban meghosszabbítva nem metszik egymást. (I.23. definíció) E definíciót használva bizonyítja be, hogy két egyenes párhuzamos akkor, ha egy harmadik metszővel egyenlő váltószögeket alkot (I.27. tétel), de akkor is, ha a metszőnek ugyanazon az oldalán a megfelelő szögek egyenlők vagy a két belső szög összege két derékszög (I.28. tétel).

Ennek a tételnek a megfordítását mondja ki az I. könyvben az 5. posztulátum:^[2]

Ha egy egyenes úgy metsz két egyenest, hogy az egyik oldalán keletkező belső szögek összege kisebb két derékszögnél, akkor e két egyenes a metszőnek ezen oldalán meghosszabbítva metszi egymást.

A párhuzamosok euklideszi elmélete az első könyv néhány tételében válik teljessé:

• I.30. tétel: Ugyanazzal az egyenessel párhuzamosak egymással is párhuzamosak.
• I.31. tétel: Egy adott egyenessel egy külső ponton át (csak egy) párhuzamos húzható.^[3]

• I.33. tétel: Két párhuzamos és egyenlő szakasz végeit összekötő szakaszok is párhuzamosok és egyenlők.

A párhuzamosok euklideszi elméletének következményei közül a legismertebb a háromszögek szögeinek összegére vonatkozó tétel, mely csak az euklideszi geometriában érvényes.

Távolságvonal

Már Eukleidész első kommentátorainak feltűnt, hogy az 5. posztulátum nem magától értetődő, nem olyan, amit bizonyítás nélkül el lehetne fogadni, s ezért megkísérelték levezetni. Feltevésüket igazolandó próbálkoztak azzal is, hogy a párhuzamosok euklideszi definícióját más fogalmazásokkal helyettesítsék. Ám ezek az alternatív definíciók és axiómák nem vezettek ellentmondáshoz. Proklosz (i.sz. 410 - 485) a Megjegyzések Eukleidész első könyvéhez c. munkájában megemlíti Poszeidoniosz (i.e. I. sz.) javaslatát, hogy

nevezzük párhuzamosnak a két egysíkú és egymástól egyenlő távolságban haladó egyenest.

Az említett I. 33. tételből levezethető, hogy az euklideszi párhuzamosok ekvidisztáns – egyenközű – vonalak. Tehát a javasolt definíció és az euklideszi párhuzamosság nincsenek ellentmondásban, de külön kell őket választani. Proklosz analógiaként említi a hiperbola és a konhoisz aszimptotáját, amellyel Eukleidész szerint a görbe párhuzamos – sohasem metszi azt – de Poszeidoniosz felfogása szerint nem – közeledik hozzá. Proklosz megítélése szerint ez a tény az egész geometriában a legnagyobb paradoxon.

Bolyai János a nemeuklideszi geometria felépítése során a távolságvonalat, mint az egyenestől egyenlő távolságban lévő pontok mértani helyet hiperciklusnak nevezi el, ezzel is kiemelve, hogy az nem egyenes.

A határkör

Az euklideszi párhuzamosság kevéssé közismert következménye, hogy ha egy egyenest érintő kör középpontját az egyenestől minden határon túl eltávolítjuk, akkor a kör határhelyzete az adott érintő egyenes lesz. Azonban az így létrejövő végtelen sugarú határkör a hiperbolikus síkon nem egyenes. Bolyai paraciklusnak, Lobacsevszkij horociklusnak nevezte el. A határkört egy „sugara” körül megforgatva a határgömböt kapjuk, mely csak az euklideszi térben sík, a hiperbolikus térben paraszféra-horoszféra néven ismerjük.

Eltérések

Amíg a XIX. századi kutatások nem mutattak rá az euklideszitől különböző geometriai rendszerek lehetőségére, addig az „euklideszi” jelzőnek nem volt értelme, akkor ez volt „A geometria”. Ma az euklideszi geometria csak a lehetséges geometriai rendszerek egyike. A legfontosabb eltérések a párhuzamossággal kapcsolatosak, s mint fentebb részleteztük az egyenes bizonyos jellegzetességei és még néhány tétel (tulajdonság) különbözteti meg a többi geometriai rendszertől. Ezek többségét természetesnek vesszük, holott más axiómákra épített rendszerekben az ellenkezőjük igaz. Ilyenek például:

• Csak az euklideszi geometriában vannak hasonló idomok. Más rendszerekben a háromszögek szögeinek összege az idom méreteitől függ, tehát a hasonlóság értelmét veszti.
• Akármilyen nagy területű háromszögek (idomok) léteznek. (A Bolyai-Lobacsevszkij geometriában van maximális méretű háromszög.)
• Ha egy egyenes két (euklideszi) párhuzamos egyikét metszi, akkor a másikat is.
• Ha az euklideszi sík egyik félegyenese párhuzamos egy másik egyenessel, akkor a komplementere is párhuzamos ugyanazzal az egyenessel. (A nemeuklideszi párhuzamosok csak „egyik irányban” azok.)
• Az euklideszi síkban egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos (nem metsző) húzható. (Az elliptikus síkon egy sem, a hiperbolikus síkon két párhuzamos és végtelen sok nem metsző.)
• Egy konvex szögtartomány bármely pontján át húzható olyan egyenes, amelyik a szög mindkét szárát metszi.

Jegyzetek

1. A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi geometria, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
2. Néhány kiadásban az axiómák között szerepel 9., gyakrabban 11. sorszámmal.
3. A tétel valójában feladatként tűzi ki a párhuzamos megszerkesztését.

Források

• Bolyai János: Appendix, a tér tudománya (Akadémiai Kiadó, 1973)
• Euklidesz: Elemek (Mayer Gyula ford.), Gondolat, 1983. [1]
• Lobacsevszkij, N.I.: Geometriai vizsgálatok… …(Akadémiai Kiadó, 1951)
• Bonola, Roberto: A nemeuklideszi geometria története – (inedita)[2]
• Reinhardt, F.-Soeder, H.: SH atlasz-Matematika, Springer-Verlag, Budapest-Berlin, 1993.
• Dörrie, Heinrich: A diadalmas matematika - Gondolat Kiadó, Budapest, 1965.
• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Waerden, B.L. van der: Egy tudomány ébredése (Gondolat, 1977)
• Kerékjártó Béla: A geometria alapjairól (Akadémiai Kiadó, 19??)
• Einstein, Albert: A speciális és általános relativitás elmélete (Gondolat, 1963)