Dioklész-féle cisszoid

Dioklész-féle cisszoid (piros)

A Dioklész-féle cisszoid síkgörbe, algebrai görbe, melyet az alábbi egyenlet definiál:

${\displaystyle x^{3}+(x-a)y^{2}=0\,,\ a>0}$

A görbe azon A pontok mértani helye, melyekre igaz, hogy OA = BC és az A, B, és C pont egy egyenesen fekszik, valamint

• O az origóban helyezkedik el,
• B ennek az egyenesnek és a annak az a átmérőjű körnek a metszéspontja, melynek középpontja (a/2,0).
• A C pont ennek ez egyenesnek és az x=a egyenesnek a metszéspontja.

A Dioklész-féle cisszoid tehát egy a átmérőjű kör és a hozzá tartozó érintőhöz tartozó görbe. Polárkoordinátás egyenlete:

${\displaystyle \rho =a(\sec \vartheta -\cos \vartheta ),\qquad \qquad }$

vagy

${\displaystyle \rho =a{\frac {\sin ^{2}\vartheta }{\cos \vartheta }}\qquad \qquad }$

ahol ${\displaystyle \vartheta \in (-\pi /2,\pi /2)}$

Ezek az egyenletek paraméteres alakra is hozhatók:

${\displaystyle {\begin{cases}y=a\left(\operatorname {tg} \vartheta -{1 \over 2}\sin 2\vartheta \right),\qquad \quad \\x=a\sin ^{2}\vartheta ,\qquad \quad \\\end{cases}}}$

vagy

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {at^{2}}{1+t^{2}}},\qquad \quad \\y={\frac {at^{3}}{1+t^{2}}},\qquad \quad \\\end{cases}}\ -\infty <t<\infty ,}$

ahol

${\displaystyle t=\operatorname {tg} \varphi }$

${\displaystyle \varphi \,}$ az OA egyenesnek az x-tengellyel bezárt szöge.

Tulajdonságai

Az O pont a görbe szinguláris pontja, az x=a egyenes aszimptotája. A görbe és az aszimptota közötti terület:

${\displaystyle T=3/4\pi a^{2}\,}$

A kocka megduplázása

A cisszoid segítségével Dioklésznak az i.e. III. században sikerült megoldani az úgynevezett déloszi problémát: a kocka kettőzését.

Külső hivatkozások

• Tankönyvtár

Források

• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.