Csebisev-csomópontok

A Csebisev-csomópontok egyenértékűek az n egyenlőközű pontok x koordinátáival egy félkörön (itt, n=10). ^[1]

A numerikus analízisben a Csebisev-csomópontok speciális valós algebrai számok, nevezetesen az elsőfajú Csebisev-polinomok gyökei. Ezeket gyakran használják csomópontként polinomiális interpolációban, mert a kapott interpolációs polinom minimalizálja a Runge-hatás mértékét.^[2]

Meghatározás

Az első 50-es csebisevi polinom nullái

Egy adott n pozitív egész számra a ( − 1, 1) intervallumon lévő Csebisev-csomópontok a következők:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k-1}{2n}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

Ezek az elsőfajú Csebisev-polinom n-ed fokú gyökei. Egy tetszőleges [ a, b ] intervallumon lévő csomópontoknál affin transzformáció használható:

${\displaystyle }$${\displaystyle x_{k}={\frac {1}{2}}(a+b)+{\frac {1}{2}}(b-a)cos{\biggl (}{\frac {2k-1}{2n}}\pi {\biggr )},\qquad k=1,...,n.}$

Közelítés

A Csebisev-csomópontok fontosak a közelítéselméletben, mert különösen jó csomópontokat alkotnak a polinomiális interpolációhoz. Adott ƒ függvény ${\displaystyle [-1,+1]}$intervallumon és n darab ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$pont. Ezen az intervallumon, az interpolációs polinom az az egyedülálló legfeljebb ${\displaystyle n-1}$-ed fokú ${\displaystyle P_{n-1}}$ polinom melynek minden ${\displaystyle x_{i}}$ponton ${\displaystyle f(x_{i})}$értéke van. Az interpolációs hiba a ${\displaystyle x}$-re:

${\displaystyle f(x)-P_{n-1}(x)={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}$

néhány (x-től függő) ${\displaystyle \xi }$-ra a [−1,1] intervallumon.^[3] Ezt minimalizáljuk

${\displaystyle }$${\displaystyle \max _{x\in [-1,1]}\left|\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\right|.}$

Ezen produs egy n fokú monic polinom. Kimutatható, hogy az ilyen polinomok maximális abszolút értéke alulról 2¹⁻ⁿ -től kötött. Ezt a kötést a 2¹⁻ⁿT_n skálázott Csebisev-polinomok érik el, amelyek szintén monikusak. (Emlékezzünk arra, hogy |T_n(x)|≤1 x ∈[−1,1] esetén. ^[4] Ezért, ha az x_i interpolációs csomópontok a T_n gyökei, a hiba:

${\displaystyle }$${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\max _{\xi \in [-1,1]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

Egy tetszőleges [a, b] intervallum esetén a változó változása azt mutatja

${\displaystyle }$${\displaystyle \left|f(x)-P_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {1}{2^{n-1}n!}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{n}\max _{\xi \in [a,b]}\left|f^{(n)}(\xi )\right|.}$

Megjegyzések

1. Lloyd N. Trefethen, Approximation Theory and Approximation Practice (SIAM, 2012).
2. Fink, Kurtis D., and John H. Mathews.
3. (Stewart 1996), (20.3)
4. (Stewart 1996), Lecture 20, §14

Irodalom

• Stewart, Gilbert W. (1996), Afternotes on Numerical Analysis, SIAM, ISBN 978-0-89871-362-6.

További irodalom

• Burden, Richard L .; Faires, J. Douglas: Numerical Analysis, 8. kiadás, 503–512. ISBN 0-534-39200-8 .