Csúcsgráf

Egy csúcsgráf – a piros csúcs eltávolításával kapott részgráf síkba rajzolható.

A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy csúcsgráf (apex graph) olyan gráf, ami egyetlen csúcs eltávolításával síkbarajzolhatóvá tehető. A törölt csúcs a gráf csúcspontja (apex). A csúcsgráfnak több csúcspontja is lehet, például a K₅ és K_3,3 minimális nem síkbarajzolható gráfok minden csúcsa csúcspont. A nullgráfot szintén csúcsgráfnak szokás tekinteni, bár nincs benne eltávolítható csúcs.

A csúcsgráfok a minorképzés műveletére zártak, és a gráfminor-elméletben többfelé előkerülnek: a láncmentes beágyazás,^[1] Hadwiger-sejtés,^[2] YΔY-redukálható gráfok,^[3] illetve a faszélesség és átmérő közti kapcsolat esetében.^[4]

Jellemzés és felismerés

A csúcsgráfok a minorképzés műveletére zártak: egy csúcsgráf bármelyik élének összehúzásával, bármelyik él vagy csúcs eltávolításával egy másik csúcsgráfhoz jutunk. Tehát ha G egy csúcsgráf, melynek csúcspontja v, akkor bármely, v-t nem érintő összehúzás vagy eltávolítás megőrzi a maradék gráf síkba rajzolhatóságát, ahogy egy v-vel érintkező él eltávolítása is. Ha egy v-vel érintkező él összehúzásra kerül, a maradék gráffal ugyanaz történik, mintha az él másik végpontját eltávolítanánk. És ha magát v-t távolítjuk el, bármely másik csúcsot kinevezhetjük csúcspontnak.^[5]

A Robertson–Seymour-tétel alapján, mivel minorzárt gráfcsaládot alkotnak, a csúcsgráfok rendelkeznek tiltott minor-alapú osztályozással. Tehát csak véges sok olyan gráf létezik, ami nem csúcsgráf és nem tartalmaz másik nem-csúcsgráfot minorként. Ezeket a gráfokat nevezik a csúcsgráfok tiltott minorainak (obstrukcióhalmazának). Bármely G gráf akkor csúcsgráf, ha nem nem tartalmazza minorként valamelyik tiltott minort. Az obstrukcióhalmaz elemei közé tartozik a Petersen-gráfcsalád hét gráfja, három nem összefüggő gráf, ami két K₅ és egy K_3,3 közül kettő-kettőnek a diszjunkt uniójából származik, és több másik gráf. A tiltott minorok teljes listáját azonban még nem sikerült összeállítani, 2016-ban 263 ilyen gráf volt ismert.^[5][6]

Bár a tiltott minorok listája még nem teljes, annak tesztelése, hogy adott gráf csúcsgráf-e, lineáris időben megoldható. Általánosabban, bármely rögzített k konstansra, lineáris időben felismerhetők az ún. k-csúcsgráfok, azaz a gráfok, melyekből jól megválasztott legfeljebb k csúcs eltávolításával síkbarajzolható gráfhoz jutunk.^[7] Ha azonban k változó, a probléma NP-teljes.^[8]

Kromatikus szám

Egy csúcsgráf kromatikus száma legfeljebb öt lehet: a síkbarajzolható alapgráf kromatikus száma a négyszíntétel alapján legfeljebb négy, a maradék egy csúcsponthoz pedig legfeljebb egy új színre van szükség. (Robertson, Seymour & Thomas 1993a) ennek a ténynek a felhasználásával bizonyították a Hadwiger-sejtés k = 6 esetét, miszerint minden 6-kromatikus gráf tartalmazza a K₆ teljes gráfot minorként: megmutatták, hogy bármely minimális ellenpéldának csúcsgráfnak kellene lennie, de mert 6-kromatikus csúcsgráf nem létezik, így az ellenpélda sem.

A matematika megoldatlan problémája: Minden 6-szorosan csúcsösszefüggő, ${\displaystyle K_{6}}$-minormentes gráf csúcsgráf? (A matematika további megoldatlan problémái)

(Jørgensen 1994) sejtése szerint minden 6-szorosan csúcsösszefüggő gráf csúcsgráf, ha nem tartalmazza a K₆-t minorként. Ha ezt sikerülne bizonyítani, abból a Hadwiger-sejtés korábban említett Robertson–Seymour–Thomas-féle eredménye is azonnal következne.^[2] A Jørgensen-sejtés egyelőre bizonyítatlan,^[9] ha azonban hamis, csak véges sok ellenpéldája létezhet.^[10]

Helyi faszélesség

Egy F gráfcsaládnak akkor van korlátos helyi faszélessége (bounded local treewidth), illetve rendelkezik az átmérő-faszélesség tulajdonsággal (diameter-treewidth property), ha a család gráfjainak faszélességét felülről korlátozza átmérőjük egy függvénye, tehát ha létezik olyan ƒ függvény, hogy egy F-beli, d átmérőjű gráf faszélessége legfeljebb ƒ(d). A csúcsgráfok nem rendelkeznek korlátos helyi faszélességgel: az n × n-es rácsgráf minden csúcsának a csúcsponttal való összekötésével kapott csúcsgráf faszélessége n, átmérője pedig 2, tehát a faszélesség nem lehet az átmérő függvénye által korlátozva. A csúcsgráfok családjának mégis köze van a korlátos helyi faszélességhez: a minorzárt F gráfcsaládnak pontosan akkor van korlátos helyi faszélességgel, ha az obstrukciós halmazában legalább egy csúcsgráf szerepel, azaz csúcsgráfminor-mentes.^[4] Tehát a csúcsgráfminor-mentes gráfcsaládok megegyeznek a korlátos helyi faszélességű minorzárt gráfcsaládokkal.

Az átmérő-faszélesség tulajdonság közeli kapcsolatban áll a bidimenzionalitás algoritmikus elméletével, és a csúcsgráfminor-mentes gráfok számos algoritmikus problémája megoldható polinom időben, vagy rögzített paraméter mellett kezelhető, vagy polinomiális approximációs sémával közelíthető.^[11] A csúcsgráfminor-mentes gráfokra a gráfminor-tétel egy erősebb változata alkalmazható, ami a gráfszínezési és utazó ügynök-problémák további approximációs algoritmusaihoz vezet.^[12] Ezeknek az eredményeknek némelyike kiterjeszthető tetszőleges minorzárt gráfcsaládokra az őket a csúcsgráfminor-mentes gráfokkal kapcsolatba hozó strukturális tételek segítségével.^[13]

Beágyazások

Ha G csúcsgráfban v csúcspont és τ megegyezik G\{v} egy síkba rajzolásában a v összes szomszédjának lefedéséhez szükséges tartományok minimális számával, akkor G beágyazható egy τ − 1 génuszú kétdimenzós felületbe: egyszerűen hozzá kell adni a hidak ezen számát a síkba ágyazáshoz, amik összekötik azokat a tartományokat, melyekbe v bekötendő. Például egy külsíkgráfhoz (melynél τ = 1) egyetlen csúcsot adva síkbarajzolható gráfot kapunk. Ha G\{v} 3-szorosan összefüggő, akkor a génuszra vonatkozó korlát az optimálisnak konstansszorosa: G minden felületbe ágyazása legalább τ/160-as génuszt igényel. A csúcsgráf felületbe ágyazása optimális génuszának megállapítása azonban NP-nehéz.^[14]

Egy csúcsgráf síkbarajzolható részének lehetséges beágyazásait SPQR-fákkal kódolva ki lehet számítani a gráf olyan lerajzolását, melyben a metsző élek csak a csúcspont összefüggésében jönnek létre, így minimalizálva a metsző élek számát polinom idő alatt.^[15] Ha azonban tetszőleges metszést megengedünk, NP-nehéz feladat a metsző élek számának minimalizálása, még azon speciális csúcsgráfoknál is, melyek egy síkbarajzolható gráfhoz egyetlen él hozzáadásával jöttek létre.^[16]

A csúcsgráfok láncmentesen beágyazhatók a háromdimenziós térbe: beágyazhatók oly módon, hogy a gráf minden köre egy körlemez határán legyen, melyen a gráf más eleme nem hatol át.^[17] Egy ilyen beágyazás megkapható a gráf síkbarajzolható részének síkba rajzolásával, majd a csúcspont a sík fölé helyezésével és a csúcspont a szomszédaival való egyenes vonalú összekötésével. A láncmentesen beágyazható gráfok minorzárt családot alkotnak, melynek minimális tiltott minorai a Petersen-gráfcsalád;^[1] így ezek a gráfok a csúcsgráfok tiltott minorai is egyben. Léteznek azonban láncmentesen beágyazható gráfok, melyek nem csúcsgráfok.

YΔY-redukálhatóság

Robertson példája nem YΔY-redukálható csúcsgráfra.

Egy összefüggő gráf akkor YΔY-redukálható, ha a lépések egy sorozatával egyetlen csúcsra redukálható, ahol a lépések a következők lehetnek: Δ-Y vagy Y-Δ átalakítás, egy hurokél vagy többszörös él átalakítása, egyetlen szomszéddal rendelkező csúcs eltávolítása, kettő fokszámú csúcs és a belőle kiinduló élek cseréje egyetlen élre.^[3]

A csúcsgráfokhoz és a láncmentesen beágyazható gráfokhoz hasonlóan a YΔY-redukálható gráfok is zártak a minorképzés műveletére nézve. A láncmentesen beágyazható gráfokhoz hasonlóan az obstrukciós halmazukhoz tartozik a Petersen-gráfcsalád hét gráfja, mint tiltott minor, ami felvetette a kérdést, hogy vajon a két gráfcsalád megegyezik-e. Neil Robertson talált olyan csúcsgráfot, ami nem YΔY-redukálható, ezért az YΔY-redukálható gráfok obstrukciós halmazába további gráfoknak kell tartozniuk.^[3]

Az ábrán látható Robertson csúcsgráfja. A gráf előállítható akár egy rombododekaéder három fokszámú csúcsaihoz egy csúcspont hozzáadásával, vagy egy négydimenziós hiperkockagráf két átlósan szemközt lévő csúcsának összeolvasztásával. Mivel a rombododekaéder gráfja síkba rajzolható, a Robertson-féle gráf csúcsgráf. Háromszögmentes gráf, melynek minimális fokszáma négy, ezért az YΔY-redukciók nem változtathatják meg.^[3]

Csaknem síkbarajzolható gráfok

A 16 csúcsú Möbius-létra, a csaknem síkbarajzolható gráfok egy példánya.

Egy csúcsgráfnak nem feltétlenül van egyetlen kijelölt csúcspontja. Például a minor-minimális nem síkbarajzolható gráfokban – a K₅-ben és a K_3,3-ban – bármely csúcs kiválasztható csúcspontként. Wagner (1967, 1970) definíciója szerint egy csaknem síkbarajzolható gráf (nearly planar graph) olyan, nem síkbarajzolható csúcsgráf, melyben bármelyik csúcs kiválasztható csúcspontként; tehát például a K₅ és K_3,3 csaknem síkbarajzolható. Elvégezte az ilyen gráfok osztályozását, négy részhalmazba osztva őket, melyek egyike azokból a gráfokból áll, melyek (a Möbius-létrákhoz hasonlóan) beágyazhatók a Möbius-szalagba úgy, hogy a szalag éle egybeesik a gráf egy Hamilton-körével. A négyszíntétel bizonyítása előtt sikerült bizonyítania, hogy a csaknem síkbarajzolható gráfok legfeljebb négy színnel színezhetők, kivéve a páratlan külső körrel rendelkező gráfokat, melyek egy kerékgráfból jönnek létre a központi csúcs két egymás melletti csúcsra való kicserélésével, melyekhez öt színre van szükség. Ráadásként bizonyította, hogy a kocka nyolc csúcsú komplementere kivételével az összes csaknem síkbarajzolható gráfnak létezik a projektív síkba való beágyazása.

Maga a „csaknem síkbarajzolható gráf” kifejezés erősen kétértelmű: használták már a csúcsgráfokra,^[18] a síkbarajzolható gráfokhoz egy él hozzáadásával kapott gráfokra,^[19] síkba rajzolt gráfok egyes tartományainak korlátos útszélességű „vortex”-ekre lecserélésével kapott gráfokra ^[20] és néhány más, kevésbé precízen definiált gráfcsaládra is.

Kapcsolódó gráfcsaládok

Egy gráf akkor k-csúcsgráf, ha k vagy kevesebb csúcs eltávolítása után síkbarajzolható lesz. Az 1-csúcsgráf fogalma megegyezik a csúcsgráféval.

(Max & Mackall 2016) szerint egy gráf él-csúcsgráf, ha van olyan éle, melynek eltávolításával a gráf síkbarajzolható lesz, továbbá egy gráf összehúzás-csúcsgráf, ha van olyan éle, melynek összehúzásával a gráf síkbarajzolható lesz.

Kapcsolódó szócikkek

• Poliéder-hasáb (polyhedral pyramid), egy 4-dimenziós politóp, aminek csúcsai és élei olyan csúcsgráfot alkotnak, melyben a csúcs egy poliédergráf minden csúcsával szomszédos

Jegyzetek

1. (Robertson, Seymour & Thomas 1993b).
2. (Robertson, Seymour & Thomas 1993a).
3. (Truemper 1992).
4. (Eppstein 2000); (Demaine & Hajiaghayi 2004).
5. (Gupta & Impagliazzo 1991).
6. Pierce (2014).
7. (Kawarabayashi 2009).
8. (Lewis & Yannakakis 1980).
9. Jorgensen's Conjecture, <http://www.openproblemgarden.org/op/jorgensens_conjecture>. Hozzáférés ideje: 2016-11-13.
10. Kawarabayashi et al. (2012).
11. (Eppstein 2000); (Frick & Grohe 2001); (Demaine & Hajiaghayi 2005).
12. (Demaine, Hajiaghayi & Kawarabayashi 2009).
13. (Grohe 2003).
14. (Mohar 2001).
15. (Chimani et al. 2009).
16. (Cabello & Mohar 2010).
17. (Robertson, Seymour & Thomas 1993c).
18. (Robertson, Seymour & Thomas 1993c); (Eppstein 2000).
19. (Archdeacon & Bonnington 2004).
20. (Abraham & Gavoille 2006).

• Abraham, Ittai & Gavoille, Cyril (2006), "Object location using path separators", Proc. 25th ACM Symposium on Principles of Distributed Computing (PODC '06), pp. 188–197, DOI 10.1145/1146381.1146411.
• Archdeacon, Dan & Bonnington, C.P.C. Paul (2004), "Obstructions for embedding cubic graphs on the spindle surface", Journal of Combinatorial Theory, Series B 91 (2): 229–252, DOI 10.1016/j.jctb.2004.02.001.
• Cabello, Sergio & Mohar, Bojan (2010), "Adding one edge to planar graphs makes crossing number hard", Proc. 26th ACM Symposium on Computational Geometry (SoCG '10), pp. 68–76, doi:10.1145/1810959.1810972, <http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Reprints/Inprint/BM10_SoCG10_Cabello_crossingNumberHard.pdf>. Hozzáférés ideje: 2018-12-10.
• Chimani, Markus; Gutwenger, Carsten & Mutzel, Petra et al. (2009), "Inserting a vertex into a planar graph", Proc. 20th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '09), pp. 375–383, <http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1496812>.
• Demaine, Erik D. & Hajiaghayi, Mohammad Taghi (2004), "Diameter and treewidth in minor-closed graph families, revisited", Algorithmica 40 (3): 211–215, DOI 10.1007/s00453-004-1106-1.
• Demaine, Erik D. & Hajiaghayi, Mohammad Taghi (2005), "Bidimensionality: new connections between FPT algorithms and PTASs", Proc. 16th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA '05), pp. 590–601, <http://erikdemaine.org/papers/GenApprox_SODA2005/>. Hozzáférés ideje: 2018-12-10.
• Demaine, Erik D.; Hajiaghayi, Mohammad Taghi & Kawarabayashi, Ken-ichi (2009), "Approximation algorithms via structural results for apex-minor-free graphs", Proc. 36th International Colloquium Automata, Languages and Programming (ICALP '09), vol. 5555, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, pp. 316–327, doi:10.1007/978-3-642-02927-1_27.
• Eppstein, David (2000), "Diameter and treewidth in minor-closed graph families", Algorithmica 27 (3): 275–291, DOI 10.1007/s004530010020.
• Frick, Markus & Grohe, Martin (2001), "Deciding first-order properties of locally tree-decomposable structures", Journal of the ACM 48 (6): 1184–1206, DOI 10.1145/504794.504798.
• Grohe, Martin (2003), "Local tree-width, excluded minors, and approximation algorithms", Combinatorica 23 (4): 613–632, DOI 10.1007/s00493-003-0037-9.
• Gupta, A. & Impagliazzo, R. (1991), "Computing planar intertwines", Proc. 32nd IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '91), IEEE Computer Society, pp. 802–811, doi:10.1109/SFCS.1991.185452.
• Jørgensen, Leif K. (1994), "Contractions to K₈", Journal of Graph Theory 18 (5): 431–448, DOI 10.1002/jgt.3190180502. As cited by Robertson, Seymour, and Thomas (1993a, 1993c).
• Kawarabayashi, Ken-ichi (2009), "Planarity allowing few error vertices in linear time", Proc. 50th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '09), IEEE Computer Society, pp. 639–648, doi:10.1109/FOCS.2009.45.
• Kawarabayashi, Ken-ichi; Norine, Serguei & Thomas, Robin et al. (2012), ${\displaystyle K_{6}}$ minors in large 6-connected graphs.
• Lewis, John M. & Yannakakis, Mihalis (1980), "The node-deletion problem for hereditary properties is NP-complete", Journal of Computer and System Sciences 20 (2): 219–230, DOI 10.1016/0022-0000(80)90060-4.
• Lipton, Max; Mackall, Eoin & Mattman, Thomas W. et al. (2016), Six variations on a theme: Almost planar graphs, <https://arxiv.org/pdf/1608.01973.pdf>. Hozzáférés ideje: 2018-12-10.
• Mohar, Bojan (2001), "Face covers and the genus problem for apex graphs", Journal of Combinatorial Theory, Series B 82 (1): 102–117, doi:10.1006/jctb.2000.2026, <http://www.fmf.uni-lj.si/~mohar/Papers/ApexGenus.pdf>. Hozzáférés ideje: 2018-12-10.
• Pierce, Mike (2014), Searching for and classifying the finite set of minor-minimal non-apex graphs, Honours thesis, California State University, Chico, <http://www.csuchico.edu/~tmattman/mpthesis.pdf>.
• Robertson, Neil; Seymour, Paul & Thomas, Robin (1993a), "Hadwiger's conjecture for K₆-free graphs", Combinatorica 13 (3): 279–361, doi:10.1007/BF01202354, <http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/hadwiger.pdf>.
• Robertson, Neil; Seymour, P. D. & Thomas, Robin (1993b), "Linkless embeddings of graphs in 3-space", Bulletin of the American Mathematical Society 28 (1): 84–89, DOI 10.1090/S0273-0979-1993-00335-5.
• Robertson, Neil; Seymour, Paul & Thomas, Robin (1993c), "A survey of linkless embeddings", in Robertson, Neil & Seymour, Paul, Graph Structure Theory: Proc. AMS–IMS–SIAM Joint Summer Research Conference on Graph Minors, vol. 147, Contemporary Mathematics, American Mathematical Society, pp. 125–136, <http://people.math.gatech.edu/~thomas/PAP/linklsurvey.pdf>.
• Truemper, Klaus (1992), Matroid Decomposition, Academic Press, pp. 100–101, <http://www.utdallas.edu/~klaus/Mbook/matroiddecompositionbook.pdf>. Hozzáférés ideje: 2018-12-10 Archiválva 2017. augusztus 29-i dátummal a Wayback Machine-ben.
• Wagner, Klaus (1967), "Fastplättbare Graphen", Journal of Combinatorial Theory 3 (4): 326–365, DOI 10.1016/S0021-9800(67)80103-0.
• Wagner, Klaus (1970), "Zum basisproblem der nicht in die projektive ebene einbettbaren graphen, I", Journal of Combinatorial Theory 9 (1): 27–43, DOI 10.1016/S0021-9800(70)80052-7.