Bayes-féle rekurzív becslés

A valószínűségszámításban, statisztikában és gépi tanulásban a Bayes-féle rekurzív becslés vagy Bayes-szűrő egy általános probabilisztikus megközelítés egy ismeretlen sűrűségfüggvény megbecslésére, mely rekurzív módon, adott idő alatt beérkező mért adatokat és egy matematikai folyamatmodellt használ fel. A folyamat maga erősen támaszkodik azon matematikai koncepciókra és modellekre, melyek a prior és posterior valószínűségek megismerésén belül feltételezhetők, lásd Bayes-statisztika.

A robotikában

A Bayes-szűrő egy algoritmus, melyet a számítástudományban arra használnak, hogy kiszámolják a valószínűségét többféle elképzelésnek, amelyek megadják a robotnak a lehetőséget, hogy kikövetkeztethesse a helyzetét és orientációját. Lényegében a Bayes-szűrő segítségével a robot folyamatosan frissítheti a legvalószínűbb pillanatnyi helyzetét egy koordináta rendszeren belül, mindezt az időben legutóbb beérkezett szenzoros adat alapján. Ez egy rekurzív algoritmus, amely két részből áll: becslés és feltalálás. Ha a változók normál eloszlásúak és az átmenetek lineárisak, a Bayes-szűrő a Kálmán-szűrővel lesz egyenlő.

Egy egyszerű példában, a robot egy rácson keresztülhaladva többféle különböző szenzorral rendelkezhet amelyek információt szolgáltatnak számára a környezetéről. A robot kiindulhat abból a meggyőződésből, hogy a jelenlegi pozíciója a (0,0). Azonban, ahogy egyre távolabb és távolabb halad a kezdeti helyéről, a robot folyamatosan kevésbé lesz biztos a jelenlegi pozíciójában; Bayes-szűrőt használva, egy valószínűségi értéket rendelhetünk a robot saját elképzeléséhez a pillanatnyi helyzetét illetőleg, és ez a valószínűségi változó ezután folyamatosan frissíthető a beérkező szenzoros információk alapján.

Modell

A valós állapot ${\displaystyle x}$ egy nem megfigyelt Markov-láncnak tudható be, és a mérések ${\displaystyle z}$ a Rejtett Markov-modell (RMM) megfigyelései. A következő ábra egy RMM Bayes-hálóját mutatja be.

Hidden Markov model

A Markov-feltétel miatt, a jelenlegi valós állapot valószínűsége, a közvetlenül előtte levő állapot ismeretében feltételesen független az azt megelőző összes állapottól.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {x}}_{k-2},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})}$

Hasonlóan, a mért érték a k-adik időlépésben is csak a jelenlegi állapottól függ, tehát annak ismeretében feltételesen független az azt megelőző összes állapottól.

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k},{\textbf {x}}_{k-1},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})}$

Ezen feltételezéseket alkalmazva a valószínűségi eloszlás a RMM összes állapotában egyszerűen leírható, úgy mint:

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i}|{\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}|{\textbf {x}}_{i-1}).}$

Azonban, amikor a Kálmán szűrőt használjuk az x állapot megbecslésére, a számunkra érdekes valószínűségi eloszlás az azon jelenlegi állapotokkal lesz asszociált melyek feltételesen függenek a jelenlegi időlépésig mért adatoktól. (Ez úgy érhető el, hogy kizárjuk az előzetes állapotokat és elosztunk a mért adatszett valószínűségi értékével.)

Ez elvezet minket a Kálmán szűrő probabilisztikusan írott becslés és frissítés lépéseihez. A becsült állapottal asszociált valószínűségi eloszlás az összessége (integrálja) azon valószínűségi eloszlás produktumainak mely eloszlás a (k - 1)-edik időlépéstől a k-adik időlépésig való átmenettel asszociált, valamint azon valószínűségi eloszlásnak mely az összes megelőző állapottal asszociált, minden lehetséges ${\displaystyle x_{k-1}}$ esetében.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}|{\textbf {z}}_{1:k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}}$

A frissítési lépés valószínűségi eloszlása arányos a mérési valószínűségből származó produktummal a becsült állapot idejében.

${\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}{p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}$

A nevező

${\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})d{\textbf {x}}_{k}}$

konstans az ${\displaystyle x}$-hez viszonyítva, tehát minden esetben helyettesíthető egy ${\displaystyle \alpha }$ koefficienssel, melyet a gyakorlatban legtöbbször figyelmen kívül hagyhatunk. A számlálót kiszámíthatjuk majd egyszerűen normalizáljuk, mivel integrálja muszáj, hogy egész legyen.

Felhasználások

• Kálmán-szűrő, egy rekurzív Bayes-szűrő többdimenziós normál eloszlásokhoz.
• Részecskeszűrő, egy Szekvenciális Monte Carlo (SMC) alapú technika, mely diszkrét pontokból álló szett segítségével modellezi a sűrűségfüggvényt.
• Rács-alapú szűrők, melyek felosztják a sűrűségfüggvényt egy determinisztikus, diszkrét rácsra.

Szekvenciális Bayes-szűrés

A szekvenciális Bayes-szűrés a Bayes-féle becslés kibővítése olyan esetekre, mikor a megfigyelt érték az időben változó. A módszer egy olyan megfigyelt változó valós értékének megbecslésére szolgál mely az idő során változik.

A módszer elnevezése:

szűrés

amennyiben a jelenlegi értéket becsüljük múltbéli és jelenlegi megfigyelések alapján,

simítás

amikor múltbéli értékeket becslünk jelenlegi és múltbéli megfigyelések alapján, és

becslés

amikor valószínű, jövőbeli értékeket becslünk jelenlegi és múltbéli megfigyelések alapján.

A szekvenciális Bayes-szűrés fogalma széleskörűen használt az irányítástechnika és a robotika területein.

Források

• (2002) „A Tutorial on Particle Filters for On-line Non-linear/Non-Gaussian Bayesian Tracking”. IEEE Transactions on Signal Processing 50 (2), 174–188. o. DOI:10.1109/78.978374. 
• A survey of probabilistic models, using the Bayesian Programming methodology as a unifying framework. cogprints.org, 2003
• (2015) „Accuracy bounds of non-Gaussian Bayesian tracking in a NLOS environment”. Signal Processing 108, 498–508. o. DOI:10.1016/j.sigpro.2014.10.025. 
• Bayesian Filtering and Smoothing [archivált változat]. Cambridge University Press (2013). Hozzáférés ideje: 2019. december 4. [archiválás ideje: 2015. április 2.] 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Recursive Bayesian estimation című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.