שיעור תחלופה שולי

שיעור תחלופה שולי (באנגלית: Marginal Rate of Substitution,‏ MRS) הוא מושג בסיסי בכלכלה, המבטא את הכמות ממוצר כלשהו שעליה מוכן פרט לוותר על מנת לקבל יחידה אחת ממוצר אחר. בניסוח אחר, שיעור התחלופה השולי בין X ל-Y הוא היחס שבו הפרט יכול להמיר יחידה אחת של טובין X ב:${\displaystyle {\frac {dY}{dX}}}$ של טובין Y, תוך שמירה על אותה רמת תועלת.

${\displaystyle MRS_{XY}=-{\frac {dY}{dX}}}$ (על עקומת אדישות)

שיעור התחלופה השולי כיחס הנגזרות החלקיות של עקומת האדישות

שיעור התחלופה השולי הוא השיפוע של עקומת האדישות עליה נמצא הפרט, בנקודה המוגדרת על ידי הסל הנוכחי (בהנחה שהשיפוע בנקודה אכן מוגדר). שיפוע העקומה שווה גם ליחס הנגזרות החלקיות שלה.

הוכחה

תחת הנחה שימושית ומקובלת במודלים רבים בכלכלה, לפיה הטובין הם גדלים רציפים, ניתן לנתח את המשמעות של שינויים אינפיטסימליים בכמויות הנצרכות ולכן ניתן להגדיר את הנגזרת של גדלים שונים לפי כמות הטובין. נניח, אם כן, כי בכלכלה ישנם שני סוגי טובין – ${\displaystyle X}$ ו-${\displaystyle Y}$ (רציפים). נניח גם כי לפרט מסוים (למשל צרכן), קיימות העדפות על סלי צריכה שונים, אותן ניתן לתאר באמצעות פונקציית תועלת – ${\displaystyle U(X,Y)}$.

עקומת אדישות היא אוסף נקודות שוות תועלת במישור ${\displaystyle X-Y}$. במילים אחרות: על עקומת אדישות כלשהי ${\displaystyle U(X,Y)=Const}$.

אם מסמנים את הנגזרות החלקיות של ${\displaystyle U}$ לפי ${\displaystyle X}$ ולפי ${\displaystyle Y}$ כ-${\displaystyle MU_{X}}$ ו-${\displaystyle MU_{Y}}$ בהתאמה,^[א] אז גזירה של המשוואה המתארת את עקומת האדישות לפי ${\displaystyle X}$ נותנת:

${\displaystyle MU_{Y}{\frac {dY}{dX}}+MU_{X}=0}$

ובאמצעות פעולות אלגבריות פשוטות ניתן לקבל את השוויון המבוקש:

${\displaystyle MRS_{XY}=-{\frac {dY}{dX}}={\frac {MU_{X}}{MU_{Y}}}}$

כלומר: שיעור התחלופה השולי בין ${\displaystyle X}$ ל-${\displaystyle Y}$ שווה ליחס הנגזרות החלקיות של ${\displaystyle U(X,Y)}$, והוא מבטא את השיפוע המקומי של עקומת האדישות.

ראו גם

• עקומת אדישות
• פונקציית תועלת

ביאורים

1. כלומר, ${\displaystyle MU_{X}={\frac {\partial U}{\partial X}},\quad MU_{Y}={\frac {\partial U}{\partial Y}}}$