שיטת רונגה-קוטה

באנליזה נומרית, רוּנְגֶה-קוּטַה היא משפחת שיטות איטרטיביות, ישירות ועקיפות (Implicit and explicit), הכוללות את השיטה הפשוטה והידועה, שיטת אוילר, המבוססת על דיסקרטיזציה טמפורלית להערכת פתרונות מקורבים של משוואות דיפרנציאליות רגילות.^[1] שיטות אלו פותחו בסביבות שנת 1900 על ידי המתמטיקאים הגרמנים קרל דייוויד רונגה ומרטין וילהלם קוטה. לשיטות שימושים רבים בפיזיקה, בכימיה ובביולוגיה.

השיטות משמשת לפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילה ויחידה מסדר ראשון או שני (דוגמת החוק השני של ניוטון), או לפתרון סט של שתי משוואות דיפרנציאליות מצומדות מסדר ראשון (דוגמת משוואות המילטון). במקרים מסוימים ניתן אף להשתמש בשיטות הללו על מנת לפתור משוואות דיפרנציאליות חלקיות, כגון משוואת שרדינגר (אותה נהוג לפתור, מטעמי דיוק, באמצעות שיטת רונגה-קוטה-ורנר מסדר שישי, RKV6).

תיאור

שיטות רונגה-קוטה ממוספרות על פי הסדר הגבוה ביותר של פונקציונלי העזר המשמשים במסגרתן. כך למשל, שיטת רונגה-קוטה מסדר שני עושה שימוש בשני פונקציונלים על מנת לקבל כלל נסיגה המגדיר את וקטור הפתרונות. בנוסף, מתוך מספור השיטה ניתן לקבל מידע על הסדר של שגיאת הקיטוע המקומית.

השיטה המוכרת ביותר במשפחה זו, היא שיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי, המוכרת גם בתור "שיטת רונגה-קוטה הקלאסית" או בתור הקיצור RK4. להלן המרשם לפתרון משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון.

תהי בעיית תנאי שפה (מד"ר מסדר ראשון) מהצורה הבאה:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=f(t,y),~y(t_{0})=y_{0}}$

כאשר ${\displaystyle y}$ היא פונקציה לא-ידועה של הזמן אותה נרצה להעריך במסגרת הקירוב. הפסוק הנ"ל אומר כי הנגזרת של ${\displaystyle y}$ היא פונקציה של הזמן ושל ${\displaystyle y}$ עצמה. עוד נתון תנאי ההתחלה על ${\displaystyle y}$, אשר יהווה מרכיב מרכזי בפתרון בשיטת רונגה-קוטה להלן.

כעת נבחר צעד ${\displaystyle h}$ אי-שלילי כלשהו ונגדיר ארבעה פונקציונלים ${\displaystyle k_{i}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}}$

כאשר ניתן לתת פרשנות גאומטרית לכל אחד מהם:

• ${\displaystyle k_{1}}$ הוא השיפוע בתחילת המקטע (התחום בין הנקודה הידועה ${\displaystyle y_{n}}$ וע"י הנקודה הבאה אחריה ${\displaystyle y_{n+1}}$).
• ${\displaystyle k_{2}}$ הוא השיפוע במחצית המקטע, כמחושב בעזרת ${\displaystyle y}$ ו-${\displaystyle k_{1}}$.
• ${\displaystyle k_{3}}$ הוא שוב, השיפוע במחצית המקטע, אך הפעם כמחושב בעזרת ${\displaystyle y}$ ו-${\displaystyle k_{2}}$.
• ${\displaystyle k_{4}}$ הוא השיפוע בסוף המקטע.

על בסיס ארבעת הפונקציונלים הללו, נבנה את כלל הנסיגה הבא:

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{6}}h\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$

לעיתים, נהוג הסימון ${\displaystyle T_{4}}$ לממוצע הפונקציונלים המשוקלל המופיע בכלל הנסיגה לעיל. ניתן לראות כי משקל רב יותר ניתן לשיפוע במחצית המקטע.

אם ${\displaystyle f}$ לא תלויה ב-${\displaystyle y}$ הרי שהאינטגרציה טריוויאלית ושיטת רונגה-קוטה מסדר רביעי שקולה להפעלתו של כלל סימפסון (אנ').

שגיאת הקיטוע המקומית בשיטה הנ"ל היא מסדר גודל של ${\displaystyle h^{5}}$, בעוד השגיאה הנצברת הכוללת היא מסדר גודל של ${\displaystyle h^{4}}$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא שיטת רונגה-קוטה בוויקישיתוף

• שיטת רונגה-קוטה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. DEVRIES, Paul L. ; HASBUN, Javier E. A first course in computational physics. Second edition. Jones and Bartlett Publishers: 2011. p. 215.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.