שיטת אכרה-באזזי

במדעי המחשב, שיטת אכרה-באזזי היא שיטה המשמשת לניתוח ההתנהגות האסימפטוטית של יחס נסיגה (רקורסיה), אשר מופיע באנליזה של אלגוריתמי הפרד ומשול שבהם תתי-הבעיות הן בגדלים שונים בצורה משמעותית. השיטה מהווה הרחבה משמעותית של שיטת האב, אשר מניחה שתתי-הבעיות של הבעיה הנתונה הן בגדלים זהים.

שיטת אכרה-באזזי תקפה לנוסחאות חוזרות של הצורה:

${\displaystyle T(x)=g(x)+\sum _{i=1}^{k}a_{i}T(b_{i}x+h_{i}(x))\qquad {\text{for }}x\geq x_{0}.}$

התנאים לשימוש הם:

• הוכחה לקיום בסיס לאינדוקציה
• ${\displaystyle a_{i}}$ ו-${\displaystyle b_{i}}$ הם קבועים לכל i
• ${\displaystyle 0<b_{i}<1}$ לכל i
• ${\displaystyle a_{i}>0}$ לכל i
• ${\displaystyle \left|g(x)\right|\in O(x^{c})}$ כאשר c הוא הקבוע, ו-O הוא סימון אסימפטוטי
• ${\displaystyle \left|h_{i}(x)\right|\in O\left({\frac {x}{(\log x)^{2}}}\right)}$ לכל i
• ${\displaystyle x_{0}}$ הוא קבוע

ההתנהגות האסימפטוטית של (T(x נמצאת כאשר קובעים את הערך של p כאשר ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}b_{i}^{p}=1}$ ומכניסים את הערך למשוואה:

${\displaystyle T(x)\in \Theta \left(x^{p}\left(1+\int _{1}^{x}{\frac {g(u)}{u^{p+1}}}du\right)\right)}$

באופן אינטואיטיבי, ${\displaystyle h_{i}(x)}$ מסמלת הפרעה באינדקס של T. כאשר מסמנים ש-${\displaystyle \lfloor b_{i}x\rfloor =b_{i}x+(\lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x)}$ ו${\displaystyle \lfloor b_{i}x\rfloor -b_{i}x}$ תמיד בין 0 ל-1, ${\displaystyle h_{i}(x)}$ יכול לשמש כדי להתעלם מפונקציית הערך השלם באינדקס. בדומה לכך, משוואה דומה יכולה לשמש כדי להתעלם מההפרעה בפונקציית התקרה. לדוגמה, ${\displaystyle T(n)=n+T\left({\frac {1}{2}}n\right)}$ ו-${\displaystyle T(n)=n+T\left(\left\lfloor {\frac {1}{2}}n\right\rfloor \right)}$, יהיו בעלי אותה התנהגות אסימפטוטית לפי שיטת אכרה-באזזי.

השיטה קרויה על שם מפתחיה: מוחמד אכרה ולואי באזזי, שניהם מכהנים כמרצים לאלקטרוניקה והנדסת מחשבים באוניברסיטה האמריקנית בביירות.

קישורים חיצוניים

• Mohamad Akra, Louay Bazzi‏, On the solution of linear recurrence equations, ‏Computational Optimization and Applications 10(2):195–210, 1998