שורש ממוצע הריבועים

שורש ממוצע הריבועים, או ממוצע RMS (באנגלית: Root mean square), הוא מספר המשמש לתיאור ממוצע הגודל של פונקציה או של סדרת ערכים. זהו שם אחר לנורמת L², כמו גם לשונות של משתנה מקרי בעל תוחלת אפס.

הגדרה

שורש ממוצע הריבועים של סדרת הערכים ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ הוא שורש הממוצע החשבוני של ריבועי הערכים: ${\displaystyle x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}}$

ממוצע RMS של פונקציה ${\displaystyle \!f(t)}$ בקטע ${\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}$ הוא: ${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}}$

ממוצע RMS של הפונקציה על פני כל התחום ${\displaystyle -\infty \leq t\leq \infty }$ הוא: ${\displaystyle f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {2T}}{\int _{-T}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}}$. אם ${\displaystyle \!f(t)}$ היא פונקציה מחזורית, גודל זה שווה לממוצע ה-RMS על פני מחזור אחד.

דוגמאות

צורת הגל	משוואה	ממוצע RMS
גל סינוסי	${\displaystyle y=a\sin(2\pi ft+\phi )\,}$	${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$
גל מרובע	${\displaystyle y={\begin{cases}a&(ft\mod 1)<0.5\\-a&(ft\mod 1)>0.5\end{cases}}}$	${\displaystyle a\,}$
שן מסור	${\displaystyle y=2a(ft\mod 1)-a\,}$	${\displaystyle a \over {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle t}$ היא זמן, ${\displaystyle f}$ היא התדירות, ${\displaystyle a}$ היא המשרעת, ${\displaystyle \phi }$ היא המופע ההתחלתי, ${\displaystyle \ {\mbox{mod}}}$ - פעולת המודולו.

שימושים

הספק חשמלי

בהנדסת חשמל, לעיתים קרובות יש צורך לדעת מהו ההספק החשמלי הנצרך על ידי נגד. ההספק P הנצרך על ידי נגד בעל התנגדות R כאשר זורם דרכו זרם קבוע I הוא: ${\displaystyle P=I^{2}R\,\!}$.

אם בנגד זורם זרם חילופין (I(t, ההספק הרגעי הנצרך על ידו משתנה ובמקומו מחשבים את ההספק הממוצע: ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }=\langle I(t)^{2}R\rangle =R\langle I(t)^{2}\rangle =(I_{\mathrm {RMS} })^{2}R\,\!}$. כלומר הזרם ה-RMS הוא הזרם הקבוע שהיה גורם לאותה צריכת הספק ממוצעת על ידי הנגד.

את ההספק ניתן לרשום גם כתלות במתח החשמלי: ${\displaystyle P={V^{2} \over R}\,\!}$, ובאותו האופן במתח חילופין ההספק הממוצע הוא: ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={(V_{\mathrm {RMS} })^{2} \over R}\,\!}$. מתח החילופין הנפוץ ביותר הוא סינוסי: ${\displaystyle V=V_{0}\sin(2\pi ft)\,}$, ועבורו ${\displaystyle P_{\mathrm {avg} }={V_{0}^{2} \over 2R}\,\!}$.

מאחר שמתח ה-RMS שימושי לחישוב הספקים, המתח המוצהר של זרם החילופין הביתי (220 וולט בשיטה האירופית ו-110 וולט בשיטה האמריקאית) הוא מתח ה-RMS ולא המשרעת.

מהירות

בפיזיקה, גודל מהירות החלקיקים בגז אידיאלי קלאסי מתפלגת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן וכל רכיב של המהירות בשלושת כיווני המרחב מתפלג באופן נורמלי. לכן, הממוצע החשבוני של וקטורי המהירות הוא וקטור האפס, ואת הממוצע החשבוני של גודל המהירות ניתן לחשב כתוחלת של התפלגות מקסוול-בולצמן על ידי אינטגרל גאוסיאני. לעומת זאת את ממוצע ה-RMS של המהירויות ניתן למצוא באופן פשוט יותר משיקולי אנרגיה ולקבל קשר בינו לבין טמפרטורת הגז.

האנרגיה הקינטית הממוצעת של מולקולה בגז אידיאלי תלויה בממוצע ה-RMS של מהירות המולקולות: ${\displaystyle E_{\mathrm {k} }={{1} \over {2}}mv_{\mathrm {rms} }^{2}={{3} \over {2}}nRT={\frac {3}{2}}NkT}$, ולכן המהירות ה-RMS היא: ${\displaystyle v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{2E_{\mathrm {k} }} \over {m}}}={\sqrt {{3kT} \over {m}}}={\sqrt {{3RT} \over {M_{m}}}}}$, כאשר m המסה של מולקולה, M המסה המולרית של הגז, R הוא קבוע הגזים, T הטמפרטורה במעלות קלווין, N מספר המולקולות ו-k קבוע בולצמן.

שוֹנוּת

בסטטיסטיקה, השונות של אוכלוסייה מוגדרת כהפרש בין ממוצע הריבועים (ריבוע ממוצע ה-RMS) לבין ריבוע הממוצע החשבוני: ${\displaystyle {\sigma _{x}}^{2}={x_{\mathrm {rms} }}^{2}-{\bar {x}}^{2}}$, או באופן שקול: ${\displaystyle {x_{\mathrm {rms} }}^{2}={\bar {x}}^{2}+{\sigma _{x}}^{2}}$. כלומר, ממוצע ה-RMS תמיד גדול או שווה לממוצע החשבוני, והוא שווה לשונות במקרה שהממוצע החשבוני הוא אפס.

קישורים חיצוניים

• זרמי RMS של צורות גל נוספות
• יישום Java הממחיש את המשמעות של מתח RMS
• שורש ממוצע הריבועים, באתר MathWorld (באנגלית)