שדה גלובלי

במתמטיקה, המונח שדה גלובלי מתייחס לשדה שבו מתקיימת נוסחת המכפלה (ראו להלן). אמיל ארטין ו- C. Nesbitt הוכיחו ששדות כאלה שייכים לאחת משתי משפחות:

• שדה מספרים, דהיינו הרחבה אלגברית סופית של שדה המספרים הרציונלים.
• שדה הפונקציות הרציונליות של עקום אלגברי מעל שדה סופי, דהיינו שדה נוצר סופית ממאפיין ${\displaystyle \ 0<p}$ וממעלת טרנסצנדנטיות 1.

יש מספר קווי דמיון בין שני סוגי השדות. לשדות משני הסוגים יש את התכונה שכל ההשלמות שלהם הם שדות טופולוגים קומפקטים מקומית (ראו שדה מקומי). כמו כן, שדה מכל אחד מהסוגים ניתן למימוש כשדה השברים של חוג דדקינד שבו כל אידיאל שאיננו אידיאל האפס הוא מאינדקס סופי.

נוסחת המכפלה

הנוסחה המגדירה את השדות הגלובליים קושרת את כל הערכים המוחלטים של השדה, וליתר דיוק את הערכים המוחלטים עד כדי שקילות. שדה הוא גלובלי אם אפשר לבחור נציג אחד של כל מחלקת שקילות של ערכים מוחלטים, כך שלכל x שונה מאפס בשדה מתקיים ${\displaystyle \ \prod _{v}|x|_{v}=1}$. לדוגמה, בשדה המספרים הרציונליים יש לעבור על כל הערכים המוחלטים ה-p-אדיים ${\displaystyle \left|p^{i}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-i}}$, לרבות הערך המוחלט הארכימדי, שהוא הערך המוחלט הסטנדרטי. הערך המוחלט ה-p-אדי של מספר רציונלי x הוא 1 לכמעט לכל p, ומכפלת כל הערכים המוחלטים ה-p-אדיים האחרים שווה להפכי של |x|.

תרשים מערכות מספרים ואובייקטים קשורים

מקרא   שדה.   חוג קמוטטיבי עם יחידה.   חוג עם חילוק.   מבנה כללי יותר.   קבוצה סופית   קבוצה בת מניה   קבוצה מעוצמת הרצף   מחלקה הגדולה מכדי להיות קבוצה שיכון העתקה על   איזומורפיזם לא קאנוני. העתקה שקיימת רק בחלק מהמקרים (בהתאם לבחירה של שדה המספרים ${\displaystyle K}$). ללא העתקות אלה וללא האיזומורפיזמים הלא קאנוניים, הדיאגרמה היא קומוטטיבית.             אלגברות קיילי-דיקסון אלגברות קיילי-דיקסון                           ${\displaystyle \mathbb {O} }$ ${\displaystyle \mathbb {O} }$               ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$   הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים הסגור האלגברי של שדה המספרים הסוריאליסטיים                                                                                                                                              ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {C} }$   ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$       ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$                                                                                                              ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}}$                                                                         ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$     ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}}$             ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$                               ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}(t)}}}$     ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{p}((t))}}}$                                                       ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }}}$                 ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$   ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {F} }}_{p}}$                                                               ${\displaystyle K}$[1] ${\displaystyle K}$[1]     ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{K}}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle _{\nu }}$${\displaystyle K}$${\displaystyle :=}$${\displaystyle F}$   ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$                                               שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ שדה מקומי ממאפיין חיובי ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$                   ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$       ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {O}}_{K}}}}$   ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$ ${\displaystyle {{\mathcal {O}}_{F}}}$   ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}/{\mathcal {P}}_{F}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$     ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$   שדה המספרים הסוריאליסטיים שדה המספרים הסוריאליסטיים                                       ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$ ${\displaystyle {}_{real}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} (t)}}}$   ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {R} }$   ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$                                                                                                                 ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$     ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle _{\mathbb {Q} }}$${\displaystyle \mathbb {A} }$   ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$       ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle (t)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle ((t))}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                                                                               ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$     ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$   ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$     ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$   ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$     ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle [[t]]}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$                           מספרים סודרים מספרים סודרים             ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2] ${\displaystyle [t]}$${\displaystyle \mathbb {N} }$[2]     ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$             ${\displaystyle \mathbb {Z} |_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} |_{n}}$   ${\displaystyle K}$ יכול להיות כל שדה מספרים. השדה ${\displaystyle F}$ יהיה ההשלמה שלו במקום סופי שלו, והשדה הסופי ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ יהיה מנה של חוג השלמים ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ באידיאל הראשוני המתאים. לדוגמה אפשר לקחת את ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle i\rangle }$ ואז ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ יהיה חוג השלמים של גאוס. אם רוצים ששני החיצים המקווקוים ייצגו העתקות אז צריך לבחור שדה שיש לו גם שיכונים ממשיים וגם מרוכבים, למשל ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle {\sqrt[{4}]{2}}\rangle }$. הסימבול ${\displaystyle t}$ יכול לסמן משתנה אחד או כל קבוצה סדורה היטב של משתנים. יש שיכון בין אובייקט המתאים לקבוצה ${\displaystyle X}$ של משתנים לבין אובייקט המתאים לקבוצה ${\displaystyle X'}$ של משתנים המכילה את ${\displaystyle X}$.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.