ריצ'רד האריס נולד בלימריק שבאירלנד למשפחה בת תשעה ילדים. למד בבתי ספר של הישועים. היה שחקן רוגבי מוכשר ואף זכה במספר גביעים עם הקבוצה שבה שיחק. כשהיה בן 19 לקה בשחפת ובכך באה לקיצה הקריירה הספורטיבית שלו. הוא נשאר אוהד מושבע של קבוצת הרוגבי של מונסטר עד מותו, ונכח במשחקים רבים של הקבוצה.
כשהחלים ממחלתו עבר לגור בלונדון, והתכוון להיות במאי תיאטרון. כיוון שלא מצא קורסים מתאימים, התחיל ללמוד משחק ב"אקדמיה למוזיקה ולאמנויות הדרמה של לונדון" (LAMDA). עוד בהיותו סטודנט שכר האריס מקום והעלה הצגת תיאטרון בבימויו, את המחזה "Winter Journey" של קליפורד אודטס. ההצגה זכתה לשבחי הביקורת אך נכשלה בקופות, והאריס שאיבד בהפקה את כל חסכונותיו, נותר חסר בית ונאלץ לישון במשך שישה שבועות במרתף פחם.
אחרי סיום לימודיו הצטרף האריס לסדנת התיאטרון של ג'ואן ליטלווד, והתחיל לקבל תפקידים בתיאטראות לונדון, תפקידו הראשון היה בשנת 1956 במחזה "The Quare Fellow".
ב-1957 התחתן עם אליזבת ריס-ויליאמס, והתגרש ממנה ב-1969. שלושת ילדיהם הם השחקנים ג'ארד האריס, ג'יימי האריס והבמאי דמייאן האריס. האריס התחתן בשנית עם אן טורקל, שחקנית אמריקאית שהייתה צעירה ממנו ב-16 שנה, והתגרש גם ממנה.
בשנות השבעים הופיע במספר רב של סרטים, ביניהם ב-1970 שיחק בתפקיד אוליבר קרומוול בסרטו של הבמאי קן יוז "קרומוול". בשנת 1974 הופיע במותחן ג'אגרנאוט. בשנת 1977 הופיע בתפקיד הראשי בסרט "הרפתקה בלב ים" לפי ספר של אליסטר מקלין.
בסוף שנות השמונים, אחרי שבמשך תקופה ארוכה לא היו להאריס תפקידים משמעותיים בקולנוע, נודע לו על תוכניתו של הבמאי ג'ים שרידן להסריט את המחזה "השדה" של המחזאי האירי ג'ון ב. קיני. שרידן ייעד את השחקן ריי מקאנלי לגילום התפקיד הראשי בול מק'קייבי, מקאנלי מת לפני תחילת הצילומים, והאריס פעל כדי לקבל את התפקיד לעצמו. הוא זכה בתפקיד והסרט, בהשתתפות טום ברנג'ר, יצא לאקרנים בשנת 1990. האריס זכה למועמדות שנייה לפרס אוסקר על התפקיד.
מאוחר יותר שיחק בסרטים זוכי האוסקר "בלתי נסלח" וגלדיאטור (בתפקיד מרקוס אורליוס). להאריס הוצע התפקיד לגלם את אלבוס דמבלדור מנהל בית הספר הוגוורטס בסדרת סרטי הארי פוטר, אך הוא סירב לו בראשונה. לאחר שנכדתו אמרה שלא תדבר איתו לעולם אם יסרב לתפקיד, קיבל האריס את התפקיד ורכש דור חדש של מעריצים. האריס גילם את דמבלדור בשני הסרטים הראשונים בסדרה. ב-2003 אפשר היה לשמוע את קולו בסרט האנימציה "Kaena: The Prophecy", שיצא אחרי מותו והוקדש לו.