לאחר סיום לימודיו האקדמיים, גיום הצטרף לקבוצת שחקני תיאטרון בקליבלנד והופיע עמם במספר מחזות זמר קומיים ואופרות. ב-1961 ערך את הופעת הבכורה שלו על במות ברודוויי, בהצגה "קוואמינה", ולאחר מכן המשיך להופיע במחזות רבים, חלקם מחזות זמר, לרבות בהפקה של "פנטום האופרה" בלוס אנג'לס ובמחזמר "ברנשים וחתיכות", בתפקיד שזיכה אותו במועמדות לפרס טוני. הוא התארח כזמר סולו בתוכנית האירוח הפופולרית "The Tonight Show", והוציא אלבום בשם "Just Arrived" כחלק משלישיית פולק בשם "The Pilgrims" ("הצליינים").
הקריירה הטלוויזיונית של גיום החלה באמצע שנות השבעים, בהופעות אורח בסדרות המצליחות "הכל נשאר במשפחה" ו"הג'פרסונים". ב-1977 קיבל לראשונה תפקיד קבוע, בסדרה "בועות" של רשת ABC. גיום גילם את דמותו של בנסון דובואה, שעבד כמשרת בביתה של משפחת טייט, וב-1979 זכה בפרס אמי בקטגוריית שחקן המשנה הטוב ביותר בסדרה קומית. דמותו של בנסון זכתה לאהדה רבה, שהובילה את רשת ABC להעניק לה סדרת ספין אוף משלה, שבה בנסון עזב את בית משפחת טייט ונשכר על ידי המושל יוג'ין גטלינג, אלמן מפוזר, לנהל את משק הבית. הסדרה "בנסון" זכתה להצלחה ושודרה במשך שבע עונות, בשנים 1986–1979, במהלכן הייתה מועמדת ל-17 פרסי אמי וזכתה בשניים, אחד מהם הוענק לגיום ב-1985, בקטגוריית השחקן הראשי הטוב ביותר בסדרה קומית. בכך היה לשחקן האפרו-אמריקאי הראשון והיחיד עד היום (2012) שזכה בפרס אמי בקטגוריה זו[1].
ב-1989 גילם את דמותו של יועץ הנישואים אדוארד סוייר בסדרה שנקראה על שמו, "המופע של רוברט גיום", ושודרה אף היא ברשת ABC. הסדרה לא האריכה ימים וירדה מהמרקע לאחר עונה אחת בלבד. בשנים 1992–1991 גילם את דמותו של הבלש בוב באלארד בסדרה "תחנת פסיפיק". תפקידו הקבוע האחרון בסדרה היה בשנים 2000–1998, ב"Sports Night" של אהרן סורקין.
גיום היה נשוי למרלן ויליאמס משנת 1955 ועד לגירושיהם בשנת 1984. נולדו להם שני בנים: האחד נפטר מאיידס ב-1990, והשני, קווין גיום, הוא שחקן ומלחין, שהתארח במספר פרקים בסדרה "בנסון" והלחין את המוזיקה למספר פרקים בסדרה "המופע של רוברט גיום".
ב-1984 נשא גיום לאישה את דונה בראון גיום, לה הוא נותר נשוי עד יום מותו. לשניים נולדה ב-1990 בת בשם רייצ'ל.
ב-14 בינואר1999, בעת ששהה בצילומי הסדרה "Sports Night" בכיכובו, קיבל שבץ מוחי, ממנו החלים לאחר מספר שבועות.