קבוצת ובר

קבוצת ובר היא מושג בתורת המשחקים השיתופיים שהוצע על ידי רוברט ובר^[1]

יהי ${\displaystyle \!\,(N,v)}$ משחק בצורה קואליציונית, קבוצת ובר (Weber) היא הקמור של קבוצת וקטורי התשלומים הרשומה להלן (ראו פסקת 'הגדרה').

בהגדרה אין הכרח שהמשחק יהיה משחק קמור, אך אם בנוסף המשחק קמור, ניתן להראות שוקטורי תשלום אילו נמצאים בליבה, ומכיוון שהליבה היא קבוצה קמורה בעצמה, נובע כי במשחק קמור הליבה מכילה את קבוצת ובר.

בנוסף, עבור כל משחק קואליציוני, קבוצת ובר מכילה את הליבה (מכונה לעיתים - The Core Catcher)^[2], ולכן במשחק קמור בצורה קואליציונית ניתן לומר כי קבוצת ובר מתאחדת עם הליבה.

הגדרה

לכל פרמוטציה ${\displaystyle \!\,\pi }$ של N השחקנים נגדיר את וקטור התשלומים הבא : ${\displaystyle \!\,w^{\pi }=(v(\left\{i_{\pi _{1}}\right\}),v(\left\{i_{\pi _{1}},i_{\pi _{2}}\right\})-v(\left\{i_{\pi _{1}}\right\}),v(\left\{i_{\pi _{1}},i_{\pi _{2}},i_{\pi _{3}}\right\})-v(\left\{i_{\pi _{1}},i_{\pi _{2}}\right\}),...,v(N)-v(N/\left\{i_{\pi _{n}}\right\}))}$

הקמור של קבוצת הנקודות ${\displaystyle \!\,w^{\pi }}$ נקראת קבוצת ובר (Weber).

(הערה: הקמור של קבוצת וקטורים הוא הקבוצה הקמורה הקטנה ביותר המכילה אותם)

הערה

עבור כל סידור של השחקנים ניתן לחשוב על קביעת וקטור התשלומים כך שהשחקנים נכנסים אחד אחרי השני לחדר, וכל שחקן מקבל את התרומה השולית שלו לקבוצת השחקנים שהגיעו לפניו, כלומר אם S היא קבוצת השחקנים שכבר נמצאים בחדר לפני ששחקן i נכנס, שחקן i מקבל ${\displaystyle v(S\cup \left\{i\right\})-\ v(S)}$.

נסמן בצורה מסודרת את קבוצת השחקנים המופיעים לפני שחקן i, כאשר השחקנים מסודרים על ידי הפרמוטציה ${\displaystyle \pi }$: ‏

${\displaystyle P_{i}(\pi )=\left\{j\in N:\pi (j)<\pi (i)\right\}}$

אם נניח שלכל סדר יש הסתברות זהה אזי תוחלת התשלום לשחקן i היא:

${\displaystyle \psi (v,i)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[\ v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-\ v(P_{i}^{R})\right]\,\!}$

ערך זה הוא ערך שפלי, ושוב במשחק קמור ערך זה נמצא בקבוצת ובר.

ראו גם

• מונחים בתורת המשחקים

לקריאה נוספת

• "Derks J. J. M (1992) "A short proof of the inclusion of the core in the Weber set, International Journal of Game Theory, 21, 149-150
• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946

הערות שוליים

1. https://www.kellogg.northwestern.edu/faculty/weber/WEBER.HTM
2. ראו הפניה להוכחה של (Derks J. J. M (1992 בתחתית (בפסקת 'לקריאה נוספת')