קבוע ברון

קבוע ברון הוא סכום הטור של המספרים ההופכיים של הראשוניים התאומים (זוגות של מספרים ראשוניים עם הפרש של 2 ביניהם).

סכום של טור שבו מספר סופי של איברים הוא תמיד מספר סופי. סכום של טור שבו מספר אינסופי של איברים חיוביים תלוי בסוג הטור: לעיתים הסכום מתכנס למספר סופי, ולעיתים הוא מתבדר לאינסוף. בהתאם לכך, כאשר ניתן להוכיח שסכום של טור מסוים מתבדר לאינסוף, נובע מכך שבטור ישנו מספר אינסופי של איברים. לעומת זאת, כאשר סכום הטור מתכנס, לא ניתן לדעת מעובדה זו האם בטור ישנו מספר סופי או אינסופי של איברים.

בשנת 1919 הראה ויגו ברון שסכום המספרים ההופכיים של הראשוניים התאומים

${\displaystyle B_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }$

מתכנס לגבול סופי, הנקרא כיום קבוע ברון עבור מספרים ראשוניים תאומים.

לו הטור היה מתבדר, הייתה בידינו הוכחה של השערת המספרים הראשוניים התאומים. אבל מכיוון שהטור מתכנס, לא ידוע עדיין אם קיימים אינסוף מספרים ראשוניים תאומים או לא (ידוע שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר, אך העובדה שקבוצת הראשוניים היא אינסופית ניתנת להוכחה גם בדרכים אחרות, פשוטות יותר). קבוע ברון יכול להיות מספר אי-רציונלי אם יש מספר אינסופי של תאומים ראשוניים.

בשנת 1994 עסק תומאס נייסלי בחישוב קבוע ברון, באמצעות צבירה של עוד ועוד איברים בטור, ושם לב שבמהלך החישוב התוצאה משתבשת. לאחר בדיקה ממושכת השתכנע שהתקלה נובעת מפגם במעבד של המחשב האישי, וכך התגלה "באג הפנטיום".

ההערכה הטובה ביותר עד כה לערכו של קבוע זה ניתנה ב-2002 על ידי סכימת כל התאומים הראשוניים עד 10¹⁶: ${\displaystyle B_{2}\approx 1.902160583104}$.

ראו גם

• קבוע הראשוניים התאומים – קבוע המופיע בהערכה היוריסטית של מספר זוגות הראשוניים התאומים

קישורים חיצוניים

• סדרה A065421 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
• קבוע ברון, באתר MathWorld (באנגלית)