פרדוקס סנט-פטרסבורג

פרדוקס סנקט פטרבורג (באנגלית: סנט פטרסבורג) הוא מעין-פרדוקס בתורת ההסתברות ובתורת קבלת ההחלטות, המבוסס על משחק הימורים המוביל למשתנה מקרי עם תוחלת אינסופית. הפרדוקס מספק דוגמה פשוטה לבעיה של הערכת שווי כלכלי, שבה התוחלת מביאה לתוצאות שגויות בעליל. הפרדוקס קרוי כך על שם מאמרו של דניאל ברנולי, שהציג אותו ב-1738 בכתב העת "כתבי האקדמיה המלכותית למדעים של סנקט פטרבורג". עם זאת, מקורו של הפרדוקס במכתב שכתב ניקולאוס ברנולי(אנ'), בן-דודו של דניאל, ב-1713.

חשיבותו של פרדוקס זה בכך שהוא הניח את הבסיס לעיסוק בשנאת סיכון שמיושמת בקבלת החלטות בניהול תיקי השקעות וניהול סיכונים, ביטוח, הימורים ועוד.

הפרדוקס

מוסד הגרלות מציע את המשחק הבא. תמורת כרטיס שמחירו יחושב מיד, זכאי השחקן להטיל מטבע הוגן שוב ושוב, עד שהמטבע נופל על "עץ" בפעם הראשונה. באותה עת, מוכפל סכום הזכייה עם כל הטלת מטבע, כך שאם המטבע הוטל X פעמים, סכום הזכייה הוא ${\displaystyle T=2^{X}}$ שקלים. באופן כזה, יש לשחקן סיכוי של חצי לזכות בשני שקלים, סיכוי של רבע לזכות בארבעה שקלים, סיכוי של שמינית לזכות בשמונה שקלים, וכן הלאה. חישוב של התוחלת המתמטית של הזכייה, מוביל למסקנה שערך המשחק אינסופי: התוחלת מתקבלת מסיכום הזכיות האפשריות, כשהן מוכפלות כל אחת בהסתברות שלה: ${\displaystyle E(T)=2^{-1}\cdot 2^{1}+2^{-2}\cdot 2^{2}+2^{-3}\cdot 2^{3}+\cdots =1+1+\cdots =\infty }$.

אנשים שמציעים להם להשתתף במשחק מעריכים את שוויו בסכומים נמוכים, למרות ששחקן רציונלי אמור, כביכול, לשלם כל מחיר על מנת להשתתף במשחק.

פתרונות הפרדוקס

לפרדוקס הוצעו פתרונות מסוגים שונים, שנזכיר כאן בתמצית:

1. פונקציית תועלת: הניסוח הפשטני שבו זכייה ב-n שקלים מחושבת כאילו ערכה הוא n, מתעלם מכך שככל שהזכייה גדולה יותר, התועלת השולית שגלומה בה יורדת, ושהמהמר אינו מחשב את תוחלת הרווח (האינסופית) אלא את תוחלת תועלת הרווח (הסופית). פתרון כזה הציע דניאל ברנולי.
2. הזנחת אירועים חריגים (ברוח תאוריית הברבור השחור): זהו הפתרון של ניקולאי ברנולי.
3. חישוב תוחלת הרווח על פי ההסתברות הסובייקטיבית שהמהמר מייחס לאירועים השונים, שהיא שונה מההסתברות התאורטית; כשלמעשה מדובר בווריאציה של הסעיף הקודם (הזנחת אירועים חריגים).
4. דחיית הרלוונטיות של התוחלת המתמטית, בטענה שמאורעות חריגים אינם תורמים לערך המשחק במידה הגבוהה שהתוחלת מביאה בחשבון.
5. סופיות הבנק: מוסד ההגרלות שתואר לעיל מבטיח אמנם זכייה בגובה ${\displaystyle 2^{X}}$, אבל יכולתו לממש הבטחה כזו מוגבלת במשאבים הכספיים שלו (ובוודאי בגודלה הכולל של הכלכלה העולמית). כשמביאים אפקט זה בחשבון, יורדת התוחלת האמיתית של המשחק ללוגריתם של גודל הבנק, כלומר לא יותר מכמה עשרות שקלים.

ראו גם

• פרדוקס האחים
• פרדוקס המעטפות

קישורים חיצוניים

• פרדוקס סנט-פטרסבורג, באתר MathWorld (באנגלית)