נקודה מבודדת

0 היא נקודה מבודדת בקבוצה ${\displaystyle \{0\}\cup [1,2]}$. יש עיגול סביבה שלא מכיל אף נקודה אחרת של הקבוצה.

בטופולוגיה, נקודה ${\displaystyle \ x}$ בקבוצה ${\displaystyle \ S}$ נקראת נקודה מבודדת, אם קיימת סביבה של ${\displaystyle \ x}$ שאינה מכילה נקודות אחרות של ${\displaystyle \ S}$. בפרט, במרחב אוקלידי (או במרחב מטרי), ${\displaystyle \,x}$ היא נקודה מבודדת של ${\displaystyle \ S}$ אם קיים כדור פתוח סביב ${\displaystyle \ x}$ אשר אינו מכיל נקודות של ${\displaystyle \ S}$ (פרט ל-${\displaystyle \ x}$ עצמה). באופן שקול, נקודה ${\displaystyle \ x}$ אינה מבודדת, אם ורק אם ${\displaystyle \ x}$ היא נקודת הצטברות בקבוצה.

קבוצה אשר מכילה נקודות מבודדות בלבד נקראת קבוצה בדידה. תת-קבוצה בדידה של מרחב אוקלידי היא סופית או בת מנייה. עם זאת, קבוצה יכולה להיות בת מנייה ולא בדידה, כמו המספרים הרציונליים. מרחב טופולוגי שבו כל נקודה היא נקודה מבודדת נקרא מרחב דיסקרטי.

קבוצה סגורה שאין בה נקודות מבודדות נקראת קבוצה מושלמת.

דוגמאות

המרחבים הטופולוגיים בדוגמאות הבאות נחשבים תת-מרחבים של הישר הממשי.

• בקבוצה ${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2]}$, הנקודה 0 היא נקודה מבודדת.
• בקבוצה ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}}$,

0 אינה נקודה מבודדת מכיוון שניתן למצוא נקודות ב-${\displaystyle \ S}$ קרובות ל-0 ככל שנרצה, אבל כל הנקודות האחרות הן מבודדות.

• הקבוצה ${\displaystyle \ N=\{0,1,2,\dots \}}$ (קבוצת הטבעיים) היא קבוצה בדידה בישר הממשי.

ראו גם

• פעולה לא רציפה לחלוטין

קישורים חיצוניים

• Isolated Point, באתר MathWorld (באנגלית)