משפט רושה-קפלי

משפט רושה-קפלי הוא משפט בסיסי באלגברה ליניארית המאפיין את הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות. המשפט קובע תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרון של מערכת משוואות ליניאריות, וכן את הממד של מרחב הפתרונות.

המשפט נקרא משפט רושה-קפלי באיטליה, משפט קרונקר-קפלי ברוסיה, משפט רושה-פונטן בצרפת ומשפט רושה-פרובניוס בספרד.

נוסח פורמלי

נתונה מערכת משוואות ליניאריות מהצורה הכללית הבאה:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$

נסמן ב-${\displaystyle [A]}$ מטריצת המקדמים הסקלריים, ב-${\displaystyle \mathbf {x} }$ את וקטור המשתנים וב-${\displaystyle \mathbf {b} }$ את וקטור המקדמים החופשיים:

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

המשפט קובע כי למערכת המשוואות ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיים פתרון, אם ורק אם הדרגה של המטריצה ${\displaystyle [A]}$, שווה לדרגה של המטריצה ${\displaystyle [A|\mathbf {b} ]}$, המתקבלת מהוספת ${\displaystyle \mathbf {b} }$ כעמודה ב-${\displaystyle [A]}$. כלומר, ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]=\operatorname {rank} [A|\mathbf {b} ]}$.

כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים מרחב אפיני מממד ${\displaystyle n-\operatorname {rank} [A]}$ (הזזה של מרחב וקטורי מאותו ממד). בפרט כאשר ${\displaystyle n=\operatorname {rank} [A]}$ המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד. אחרת, יש אינסוף פתרונות.

הוכחה

חלק ראשון

הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של ${\displaystyle [A]}$ שווה לדרגה של ${\displaystyle [A|\mathbf {b} ]}$.

כיוון אחד של השקילות

נניח כי למערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ יש פתרון ${\displaystyle \mathbf {c} }$. כלומר, מתקיים כי ${\displaystyle A\mathbf {c} =\mathbf {b} }$.

נבטא זאת באופן מפורש:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}c_{1}+{\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\\vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}}c_{2}+\ldots +{\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}c_{n}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

מכאן ש-${\displaystyle \mathbf {b} }$ הוא צירוף ליניארי של העמודות של ${\displaystyle [A]}$. כלומר הוא שייך למרחב שנפרש על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של ${\displaystyle [A]}$) נשמר כנדרש.

כיוון שני של השקילות

נניח כי הדרגה אחרי הוספת ${\displaystyle \mathbf {b} }$ זהה. כלומר ${\displaystyle \dim \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )=\dim \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )}$, כאשר ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} }$ הם העמודות של ${\displaystyle [A]}$.

${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )}$ הוא תת-מרחב וקטורי של ${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )}$, ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים.^[1]

הוכחנו ש-${\displaystyle \mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} ,\mathbf {b} )=\mathrm {Span} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} )}$, ולכן ${\displaystyle \mathbf {b} }$ הוא צירוף ליניארי של הווקטורים ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n}} }$. מקדמי הצירוף ${\displaystyle {(c_{1},c_{2},...,c_{n})}}$ מהווים פתרון למערכת המשוואות ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$.

חלק שני

הוכחה כי קיים למערכת המשוואות פתרון יחיד אם ורק אם ${\displaystyle n=rank[A]}$.

כיוון ראשון של השקילות

נניח כי עבור המערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]<n}$.^[2]

מההנחה כי ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]<n}$ נובע שעבור המערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ קיימים לפחות שני פתרונות. זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ יש פתרון יחיד, כי אם ${\displaystyle \mathbf {x} }$ פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה ${\displaystyle \mathbf {0} }$ נקבל את אותה תוצאה.

כיוון שני של השקילות

נניח כי ${\displaystyle rank[A]=n}$, ונניח בשלילה שלמערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ קיימים שני פתרונות שונים.

מהנתון ${\displaystyle rank[A]=n}$ נובע כי למערכת ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} }$ יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי ${\displaystyle \mathbf {0} }$. אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של ${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ נקבל גם כן ${\displaystyle \mathbf {0} }$, ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.

הערות שוליים

1. קבוצת וקטורי הבסיס של התת-מרחב היא בלתי תלויה ומספר הווקטורים בה שווה לממד המרחב, ולכן היא פורשת גם את המרחב כולו.
2. לא ייתכן כי ${\displaystyle \operatorname {rank} [A]>n}$, כי קיימים רק n איברים בקבוצה הנפרשת ${\displaystyle \mathrm {Span} (a_{1},a_{2},...,a_{n})}$.