משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)

במתמטיקה, בחקר משוואות דיפרנציאליות, משפט הקיום והיחידות, הוא משפט חשוב על הקיום והיחידות של פתרונות לסוג מסוים של בעיות התחלה.

המשפט נקרא גם משפט פיקאר-לינדלוף (Picard-Lindelöf), משפט הקיום של פיקאר או משפט קושי-ליפשיץ על שמם של המתמטיקאים: אמיל פיקאר, ארנסט לינדלוף, רודולף ליפשיץ ואוגוסטן לואי קושי.

משפט הקיום והיחידות

יהי ${\displaystyle D}$ מלבן סגור המכיל את הנקודה ${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$. תהי ${\displaystyle f}$ פונקציה בשני משתנים, שהיא חסומה ורציפה ב-${\displaystyle D}$, המקיימת שם את תנאי ליפשיץ ביחס למשתנה השני. אז קיימת פונקציה אחת ויחידה ${\displaystyle y}$ המוגדרת בקטע פתוח סביב ${\displaystyle t_{0}}$ וגזירה שם, הפותרת את המשוואה הדיפרנציאלית ${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ לכל ${\displaystyle t}$ בקטע, ובנוסף מקיימת את תנאי ההתחלה ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$.

סקירת ההוכחה

הוכחה פשוטה לקיום הפתרון היא על ידי קירוב ההולך ומשתפר (השיטה נקראת גם איטרציות פיקארד):

נגדיר

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}\,\!}$

וגם

${\displaystyle \varphi _{i}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{i-1}(s))\,ds}$

אז ניתן להראות, באמצעות משפט נקודת השבת של בנך, שהסדרה של ${\displaystyle \varphi _{i}}$ (הנקראת איטרציות פיקארד) מתכנסת וגבולה הוא הפתרון לבעיה.

שימוש בלמה של גרינוול (Grönwall) על ${\displaystyle |\varphi (t)-\psi (t)|}$, כאשר ${\displaystyle \varphi }$ ו-${\displaystyle \displaystyle \psi }$ הם שני פתרונות, יראה ש-${\displaystyle \varphi (t)\equiv \psi (t)}$, ולכן הפתרון הוא יחיד.

לקריאה נוספת

• M. E. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. Vol. 114, 1894, pp. 454-457. או בגרסה מקוונת http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3074r/f454.table . (במאמר זה לינדלוף מראה הכללות לגישות קודמות בהן נקט פיקארד.)

קישורים חיצוניים

• נקודת שבת והאלגוריתם של פיקאר
• איטרציית פיקאר
• הוכחה למשפט פיקאר-לינדלוף