משפט דארבו

באנליזה מתמטית, משפט דארבו (על שם המתמטיקאי ז'אן גסטון דארבו) הוא הכללה של משפט ערך הביניים עבור פונקציות שהן נגזרת (כלומר, קיימת להן פונקציה קדומה).

על-פי המשפט, אם פונקציה גזירה בקטע סגור, פונקציית הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע, גם אם פונקציית הנגזרת אינה רציפה בעצמה.

ניסוח פורמלי

תהא ${\displaystyle \ f(x)}$ פונקציה גזירה בקטע הפתוח ${\displaystyle \ (a,b)}$, גזירה מימין בנקודה ${\displaystyle \ a}$ וגזירה משמאל בנקודה ${\displaystyle \ b}$. נסמן את הנגזרת מימין בנקודה ${\displaystyle \ a}$ כ-${\displaystyle \ f'(a)}$ ואת הנגזרת משמאל בנקודה ${\displaystyle \ b}$כ-${\displaystyle \ f'(b)}$. אז לכל ${\displaystyle \ t}$ שבין ${\displaystyle \ f'(a)}$ ו-${\displaystyle \ f'(b)}$ קיים ${\displaystyle \ c\in [a,b]}$ כך ש-${\displaystyle \ f'(c)=t}$.

משפט דארבו מהווה הכללה של משפט ערך הביניים שכן כל פונקציה רציפה מקיימת את משפט ערך הביניים, אך כוחו בכך שהנגזרת אינה חייבת להיות בהכרח רציפה כדי שהמשפט יתקיים.

מסקנה ממשפט דארבו

מסקנה מעניינת ממשפט דארבו היא שנקודות אי-הרציפות של הנגזרת הן מסוג "אי-רציפות עיקרית" בלבד. בפרט, לפונקציה בעלת נקודת אי-רציפות סליקה או אי-רציפות מסוג ראשון (״קפיצה״/״דילוג״) אין פונקציה קדומה.

מסקנה נוספת היא שהמשפט ההפוך למשפט ערך הביניים אינו נכון, כיוון שקיימות נגזרות שאינן רציפות אבל כן מקיימות את תכונת ערך הביניים. גם המשפט ההפוך למשפט דארבו אינו נכון. לא לכל פונקציה המקיימת את תכונת ערך הביניים יש פונקציה קדומה. דוגמה נגדית היא פונקציית הבסיס-13 של קונוויי.

הוכחה

אם ${\displaystyle \ f'(b)=f'(a)}$, הטענה ברורה מאליה.

ללא הגבלת הכלליות נניח כי ${\displaystyle \ f'(b)>f'(a)}$, ויהי ${\displaystyle \ f'(b)>t>f'(a)}$.

כעת נראה כי קיימת נק' ${\displaystyle c\in (a,b)}$ שמקיימת ${\displaystyle f'(c)=t}$.

נגדיר ${\displaystyle \ g(x)=f(x)-t\cdot x}$. נגזרתה היא ${\displaystyle \ g'(x)=f'(x)-t}$ולכן נשים לב כי ${\displaystyle \ g'(b)>0>g'(a)}$.

${\displaystyle \ g(x)}$ פונקציה גזירה ובפרט רציפה, כהפרש של פונקציות גזירות. לכן לפי המשפט השני של ויירשטראס, קיימת נק' ${\displaystyle \ a\leq c\leq b}$ בה מקבלת ${\displaystyle \ g}$ ערך מינימלי.

ערך זה לא יכול להתקבל ב-${\displaystyle \ a}$ כיוון ש-${\displaystyle \ 0>g'(a)}$ ולכן הפונקציה יורדת בסביבת ${\displaystyle \ a}$, ולא יכול להתקבל ב-${\displaystyle \ b}$ כיוון ש-${\displaystyle \ 0<g'(b)}$ ולכן הפונקציה עולה בסביבת ${\displaystyle \ b}$.

כלומר ${\displaystyle c\in (a,b)}$, ולכן היא נקודת קיצון מקומית. אזי לפי משפט פרמה, ${\displaystyle \ g'(c)=0}$, כלומר ${\displaystyle \ f'(c)-t=0}$ ואזי ${\displaystyle \ f'(c)=t}$ כנדרש.

קישורים חיצוניים

• משפט דארבו, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)