משוואת האגן-פואזיי

משוואת האגן-פואזיי (Hagen–Poiseuille) או בפשטות "משוואת פואזיי" היא משוואה פיזיקלית-הנדסית במכניקת זורמים, המתארת את ירידת הלחץ בנוזל, הזורם דרך צינור גלילי אופקי. המשוואה התקבלה בנפרד עבור פואזיי בשנת 1838 ועבור האגן בשנת 1839, אך התפרסמה על ידי פואזיי בשנת 1840.

המשוואה שימושית לאומדן הפרשי לחצים בצינורות בעלי קוטר קטן: כלי דם, קש שתייה, מחטי מזרקים וכדומה.

הנחות

ההנחות לקיום המשוואה הן:

1. זרימה בלתי דחיסה
2. זורם ניוטוני
3. זרימה שכבתית
4. הזרימה היא דרך צינור בעל אורך שגדול באופן משמעותי מקוטר הצינור.
5. תאוצת הזורם שווה לאפס (כל אחת משכבות הזורם - זורמת במהירות קבועה).

במקרים בהם ההנחות לא מתקיימות, למשל: אורך צינור קצר מידי, זרימה טורבולנטית ולא למינארית, וכדומה, ירידת הלחץ תהיה שונה משמעותית מירידת הלחץ המחושבת על ידי המשוואה.

משוואת האגן-פואזיי

ירידת הלחץ מחושבת על ידי הנוסחה:

${\displaystyle \Delta P={\frac {8\mu LQ}{\pi r^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}}}$

כאשר:

• ${\displaystyle \Delta P}$ - הפרש הלחץ (ירידת הלחץ)
• ${\displaystyle L}$ - אורך הצינור
• ${\displaystyle \mu }$ - צמיגות הזורם
• ${\displaystyle Q}$ - הספיקה הנפחית
• ${\displaystyle r}$ - רדיוס הצינור
• ${\displaystyle A}$ - שטח חתך הזרימה

המשוואה כושלת במדידת הפרש הלחץ בתנאים שבאופן טבעי יוצרים זרימה טורבולונטית. עבור זורם בעל צמיגות נמוכה, צנרת קצרה או רחבה, נדרש שימוש במודלים מורכבים יותר כמו משוואת דרסי-וויסבאך. כמו כן, לא ניתן למדוד את הפרש הלחץ בסמוך לתחילת הצינור, בשל תופעות מעבר הגורמות להפסדי לחץ נוספים.

פיתוח המשוואה

נתייחס לצינור בצורת גליל (תמונה מספר 1) ונסתכל על שכבת זורם קטנה באורך L.

צינור גלילי - תמונה מספר 1

הכוחות הפועלים הם: כוחות לחץ וכוחות גזירה, כמסומן.

לחץ:

על חתך הטבעת בנקודה ${\displaystyle Z=0}$:

${\displaystyle (2\pi r\Delta r)P_{0}}$

ועל חתך הטבעת בנקודה ${\displaystyle Z=L}$:

${\displaystyle -(2\pi r\Delta r)P_{L}}$

גזירה:

כוח הגזירה הפועל על הטבעת הפנימית:

${\displaystyle (2\pi rL\tau _{r})|_{r}}$

כוח הגזירה שהטבעת החיצונית מפעילה על שכבת הנוזל הבאה איתה במגע:

${\displaystyle -(2\pi rL\tau _{r})|_{r+\Delta r}}$

חיבור הכוחות והשוואה לאפס:

${\displaystyle (2\pi r\Delta r)P_{0}-(2\pi r\Delta r)P_{L}+(2\pi rL\tau _{r})|_{r}-(2\pi rL\tau _{r})|_{r+\Delta r}=0}$

מכאן, נקבל כי:

${\displaystyle r\tau _{r}|_{r+\Delta r}-r\tau _{r}|_{r}={\frac {r\Delta r\Delta P}{L}}}$

כלומר:

${\displaystyle {\frac {d(r\tau )}{dr}}\Delta r={\frac {r\Delta r\Delta P}{L}}}$

נבצע אינטגרל ונקבל:

${\displaystyle r\tau ={\frac {r^{2}\Delta P}{2L}}+C_{1}}$

ניתן להזניח את הקבוע (${\displaystyle C_{1}=0}$), ולקבל:

${\displaystyle \tau ={\frac {r\Delta P}{2L}}}$ ${\displaystyle (*)}$

עבור זורם ניוטוני (הנחה מספר 2):

הנוסחה עבור מאמץ הגזירה בין שני לוחות: ${\displaystyle \tau =-\mu {\frac {dv}{dx}}}$

ובהתאמה, עבור צינור או גליל: ${\displaystyle \tau =-\mu {\frac {dv}{dr}}}$

נשווה למשוואה ${\displaystyle (*)}$:

${\displaystyle \tau =-\mu {\frac {dv}{dr}}={\frac {r\Delta P}{2L}}}$

נכפול ב- ${\displaystyle -{\frac {dr}{\mu }}}$ ונקבל:

${\displaystyle dv=-{\frac {\Delta P}{2L\mu }}rdr}$

נבצע אינטגרל ונקבל:

${\displaystyle v=-{\frac {\Delta P}{4L\mu }}r^{2}+C_{2}}$ ${\displaystyle (**)}$

כדי למצוא את הקבוע ${\displaystyle C_{2}}$, נשתמש בתנאי השפה: ${\displaystyle v_{(r=R)}=0}$ - כלומר, על שפת הגליל, המהירות הזורם זהה לצינור הנייח, משמע- אפס.

נציב את תנאי השפה במשוואה ${\displaystyle (**)}$ ונחלץ את ${\displaystyle C_{2}}$:

${\displaystyle C_{2}={\frac {\Delta PR^{2}}{4L\mu }}}$

כעת, נציב את ${\displaystyle C_{2}}$ חזרה למשוואה ${\displaystyle (**)}$ ונקבל:

${\displaystyle v_{r}={\frac {\Delta P}{4L\mu }}(R^{2}-r^{2})}$ ${\displaystyle (***)}$

קיבלנו ביטוי פרבולי למהירות וניתן לראות כי הוא בהחלט תואם למצופה מזרימת פואזיי (תמונה מספר 2).

זרימה פרבולית בתוך הצינור - תמונה מספר 2

ניתן לראות מביטוי ${\displaystyle (***)}$ כי המהירות המקסימלית מתקבלת במרכז, עבור ${\displaystyle r=0}$.

ניתן לוודא כי זוהי המהירות המקסימלית על ידי גזירת המשוואה:

${\displaystyle {\frac {dv}{dr}}=-{\frac {r\Delta P}{2L\mu }}}$

וכאמור, עבור ${\displaystyle r=0}$, ${\displaystyle {\frac {dv}{dr}}=0}$- הנגזרת מתאפסת- והמשמעות היא שאכן המהירות המקסימלית נמצאת בנקודה זו.

חישוב ספיקה נפחית לנוזל ניוטוני:

כל אחת מטבעות הזורם בצינור נעה במהירות ${\displaystyle v_{r}}$.

כדי לחשב את הספיקה עלינו לחשב את הכפל בין שטח כל טבעת ומהירות הטבעת, ולסכום עבור כל הטבעות.

שטח של טבעת אינפיניטסימלית:

${\displaystyle dA=\pi (r+dr)^{2}-\pi r^{2}=2\pi rdr+(dr)^{2}}$

וכיוון שהביטוי ${\displaystyle (dr)^{2}}$ קטן מאוד- נוכל להזניח אותו, ולקבל:

${\displaystyle dA=2\pi rdr}$

כעת נחשב את הספיקה:

${\displaystyle Q=\int dq=\int v_{r}dA=\int v2\pi rdr}$

נציב את משוואה ${\displaystyle (***)}$ נפתור את האיטגרל בכל תחום הגליל, כלומר החל מ-${\displaystyle r=0}$ ועד ${\displaystyle r=R}$:

${\displaystyle Q=\int \limits _{0}^{R}{\frac {\Delta P}{4L\mu }}(R^{2}-r^{2})2\pi rdr={\frac {\Delta P}{4L\mu }}2\pi {\bigg [}{\frac {R^{2}r^{2}}{2}}-{\frac {r^{4}}{4}}{\bigg ]}_{0}^{R}}$

מכאן:

${\displaystyle Q={\frac {\pi \Delta PR^{4}}{8L\mu }}}$

ואם נעביר אגפים, נקבל את "משוואת האגן-פואזיי":

${\displaystyle \Delta P={\frac {8{\boldsymbol {\mu }}LQ}{\pi r^{4}}}}$

משוואת וושבורן

בפיזיקה, משוואת וושבורן מתארת זרימה קפילרית בצינור. משוואה זו נכתבה על ידי Edward Wight Washburn.

${\displaystyle L^{2}={\frac {\gamma Dt}{4\eta }}}$

כאשר t מייצג את הזמן האופייני לנוזל בעל צמיגות ${\displaystyle \eta }$ ומתח פנים ${\displaystyle \gamma }$ כדי לחדור מרחק ${\displaystyle L}$ לתוך קפילרה בעלת קוטר ${\displaystyle D}$.

במאמרו משנת 1921, משתמש וושבורן במשוואת פואזיי. שימוש בגורם אינטגרציה הנותן ביטוי לשינוי נפח אינפיניטסימלי כתלות ב-${\displaystyle l}$, אורך הנוזל בצינור, ${\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}$ נקבל:

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3})}$

כאשר ${\displaystyle \sum P}$ הוא סכום הלחצים במערכת כגון לחץ אטמוספירי ${\displaystyle P_{A}}$, הלחץ ההידרוסטטי ${\displaystyle P_{h}}$ והכוח האקוויוילנטי הנוצר בקפילרות ${\displaystyle P_{c}}$. ${\displaystyle \epsilon }$ הוא מקדם שיפוע המוערך כ-0 עבור נקודת מפגש בין נוזל למוצק הידוע בשם wetting.

את הלחץ ניתן לבטא באמצעות:

${\displaystyle P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi }$

${\displaystyle P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }$

כאשר ${\displaystyle \rho }$ מבטא את צפיפות הנוזל ו-${\displaystyle \gamma }$ את מתח הפנים שלו. ${\displaystyle \psi }$ זווית הצינור ביחס לציר האופקי ו-${\displaystyle \phi }$ היא זווית המגע בין הנוזל והחומר הקאפילרי. לאחר החלפת משתנים נקבל:

${\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}}$

משוואת פואזיי לזורם דחיס

עבור זורם דחיס בצינור, הספיקה הנפחית ומהירות הזורם אינם אחידים לאורך הצינור. הזרימה לרוב, באה לידי ביטוי על ידי הלחץ ביציאה. כאשר הנוזל נדחס או מתרחב, מתבצעת עבודה והנוזל מתחמם או מתקרר בהתאמה. מתקבל מכך כי הספיקה תלויה במעבר החום אל ומתוך הזורם. עבור נקודת מבט איזותרמית של גז אידיאלי, כאשר טמפרטורת הזורם תלויה במאזנה עם הסביבה וכאשר הלחץ בין קצוות הצינור קטן, הספיקה הנפחית ביציאה מהצינור נתונה על ידי:

ניסויי האגן

כאמור, בשנת 1839 פרסם האגן מאמר בנושא זרימת מים בצינורות גליליים. תוצאות הניסויים המוזכרים במאמר דומים לאלו שהציע פואזיי, אך פחות מקיפות ופחות מדויקות מתוצאותיו של פואזיי. תוצאות הניסויים אולם, הכילו הבחנות על אפקטי קצה והבחנות על השוני שבין זרימה למינארית לטורבולנטית. התוצאה שהציע האגן להפרש הלחצים היא: P=ׂ(A*L*Qּּ+B*Q²ׁ)/Dֶ^4 כאשר A,B קבועים. האגן מצא כי הקבוע A תלוי בטמפרטורה והביע אותו באמצעות הנוסחא: A=a-b*T+c*T² כאשר a,b,c קבועים המתקבלים מניסוי. עבור ספיקות קטנות מאוד, הערך Q² ניתן להזנחה, כך שמתקבלת למעשה אותה הנוסחא שהוצעה להפרש הלחצים על ידי פואזיי. Prandtl ו Tietjens המירו את התוצאות שקיבל האגן עבור הקבוע A, על מנת לקבל גרף עבור פקטור חיכוך אל מול מספר ריינולדס. תוצאות אלו ניבאו היטב את תוצאות הקו התאורטי עבור מספרי ריינולדס בטווח 70-1000: f=64/RN כאשר f מייצג את פקטור החיכוך המקובל בצינור.

משוואת דרסי-ויסבך

בדרך כלל משוואת האגן-פואזיי מצביעה לא רק על הפרש הלחצים בזרימה בציור אלא גם על צורתה הפרבולית של הזרימה. למעשה ניתן לפתח את תוצאות הפרש הלחצים גם לזרימה טורבולנטית על ידי קביעת צמיגות טורבולנטית אפקטיבית במקרה של זרימה טורבולנטית, אפילו שצורת הזרימה הטורבולנטית היא לא לגמרי פרבולית. בשני המקרים, הירידה בלחץ בצינור קשורה לעומס על הדפנות, אשר כביכול קובעת את פקטור החיכוך. ניתן לקבוע את ירידת הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך על ידי משוואת דרסי-ויסבך.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משוואת האגן-פואזיי בוויקישיתוף

• ההיסטוריה של משוואת האגן-פואזיי, באנגלית
• משוואת דרסי-ויסבך
• זרימה דחיסה במספרי מאך נמוכים