מרחב CAT(0)

במתמטיקה, מרחב CAT(0)‎ הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0)‎. למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.

ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.

הגדרה

משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.

כל מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$, עם k שלילי, הוא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$; וכל מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ הוא מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)}$ לכל k חיובי.

מרחבי אדמר

מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ שלם נקרא מרחב אדמר. התכונה הבולטת של מרחבי אדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם ${\displaystyle \ \gamma _{1},\gamma _{2}:[a,b]\rightarrow X}$ הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה ${\displaystyle \ f(t)=d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$ קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-אדמר).

תכונות

לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.

מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.

מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}}$ (עם המטריקה הרגילה).

חבורות CAT(0)‎

חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ היא דמוית-${\displaystyle \ \mathbb {Z} ^{n}}$.

מכפלה ישרה של חבורות ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ היא חבורת ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$. מכפלה חופשית של שתי חבורות ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-${\displaystyle \ \mathbb {Z} }$, היא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$. הרחבת HNN של חבורת ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$ ביחס לחבורה סופית, היא ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$.

חבורות קוקסטר הן ${\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)}$.

ראו גם

• מרחב (CAT(k