מספרים ידידים

במתמטיקה, זוג מספרים הם ידידים אם כל אחד מהם שווה לסכום מחלקיו של האחר (כאשר בין המחלקים אין סופרים את המספר עצמו). מספרים כאלה נקראים גם ידידותיים, רֵעִים, עמיתים או נאהבים.

הזוג הקטן ביותר של מספרים ידידים הוא (220,284):

• מחלקי המספר 220 הם 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ו-110, וסכומם הוא 284.
• מחלקי המספר 284 הם 1, 2, 4, 71 ו-142, וסכומם הוא 220.

מספרים כאלה היו כבר ידועים לפיתגוראים, שייחסו להם סגולות מיסטיות.

קיימת נוסחה כללית שנותנת זוגות מספרים ידידים (אך לא את כל הזוגות). נוסחה זו נקראת נוסחת תאביט, על-שם המתמטיקאי הערבי ת'אבת אבן קורה. אם

${\displaystyle \,p=3\cdot 2^{n}-1}$

${\displaystyle \,q=3\cdot 2^{n-1}-1}$

${\displaystyle \,r=9\cdot 2^{2n-1}-1}$

הם שלושתם מספרים ראשוניים, כאשר ${\displaystyle \,n}$ טבעי, אז המספרים ${\displaystyle \,2^{n}r}$ ו-${\displaystyle \,2^{n}pq}$ הם ידידים זה לזה. נוסחה זו נותנת למשל את הזוגות (220,284), (17296,18416) ו-(9363584,9437056), אך לא את זוג המספרים (6232,6368).

מספרים ידידותיים ותכונותיהם נחקרו על ידי מתמטיקאים כגון פייר דה פרמה, רנה דקארט ולאונרד אוילר. הזוג השני בגודלו, (1184,1210), חמק משום מה מעיניהם של המתמטיקאים הדגולים, והתגלה ב-1866 על ידי נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני. עד 1946 היו ידועים רק 390 מספרים ידידים, חיפוש באמצעות מחשבים הכפיל את קצב גילוי המספרים באלפים רבים, עד 2007 נתגלו 11,994,387 זוגות של מספרים ידידים, נכון לנובמבר 2023 ידועים 1,228,680,607 מספרים ידידים.^[1]

סביב המספרים הידידים קיימות כמה בעיות פתוחות:

• האם ישנם אינסוף זוגות של מספרים ידידים?
• ידועים זוגות מספרים ידידים ששניהם זוגיים, או ששניהם אי-זוגיים. האם ישנם זוגות שבהם האחד זוגי והאחר אי-זוגי?
• בכל הזוגות שנתגלו עד כה, קיים לשני המספרים גורם משותף גדול מאחד. האם קיים זוג מספרים ידידים זרים?

מספר שהוא מספר ידיד לעצמו נקרא מספר משוכלל. מספרים ידידים הם מקרה פרטי של מספרים חברותיים.

מספרים ידידים בתרבות

בעבר הרחוק, מספרים ידידים היוו סמל לזוגיות ולרומנטיקה. כך, לדוגמה, אדם אשר ביקש להביע את אהבתו לאישה, היה מכין שני תליונים - האחד נושא את המספר 220 והשני את המספר 284 - ונותן אחד מהם לאהובתו^{[דרוש מקור]}.

בפירושו לתנ"ך, בעלי ברית אברם, מביא רבי אברהם אזולאי, סבו של החיד"א, הסבר של רב נחשון גאון למשמעות כמויות הבהמות שיעקב אבינו שלח כדורון לאחיו עשיו, על פי תורת המספרים הידידים^[2][3] הרב מנחם מנדל כשר מזכיר זאת בפירושו תורה שלמה על פרשת וישלח^[4].

קישורים חיצוניים

• מספרים ידידים/ טיפוסי מספרים בתורת המספרים באתר של המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי, באר-שבע
• עמית רפל, עקיבא קדרי וד"ר זיוה דויטש, הנאהבים והנעימים, על רעות אצל מספרים, באתר "אלף אפס"
• מספרים ידידים, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Amicable pairs, sech.me
2. יעקב שלח לעשו 220 בהמות בסך הכל, ואז הוא אומר 'אולי אכפרה פניו', רב נחשון גאון דורש את המילה 'אכפרה' כ-'אך-פרה'=אך-החסר (אחד) מ 'פרה' (גמטריה של 285 - סך הכל 284.
3. בעלי ברית אברם, פרשת וישלח
4. תורה שלמה, חלק חמישי, בראשית ל"ב, ט"ו