מסה מתווספת (מכניקת הזורמים)

במכניקת הזורמים, מסה מתווספת (באנגלית: Added mass) או מסה וירטואלית היא האינרציה שנוספת למערכת כיוון שעצם מאיץ או מאיט חייב להזיז מעט נפח של הזורם המקיף אותו כשהוא נע דרכו. מסה מתווספת היא מושג חשוב בגלל שהעצם והזורם הסובב לא יכולים לתפוס את אותו המרחב בו-זמנית. לשם פשטות מצב זה ממודל על ידי מעט נפח של זורם הנע יחד עם העצם באותה מהירות כמוהו, למרות שבמציאות כל חלקי הזורם יואצו במידה זו אחרת. חשוב להבין שאפקט זה של מסה הנסחבת על ידי הגוף מתרחש רק עבור גופים מאיצים; בעבור גופים המתקדמים במהירות קבועה דרך הזורם הזרימה מסביב לגוף תתייצב עד מהרה על זרימה תמידית, אשר אינה נושאת עמה תנע נוסף פרט לזה הנובע ממהירות הזרימה המציפה (ששווה למהירות הגוף).

מקדם המסה המתווספת הוא גודל חסר ממד המוגדר כמסה המתווספת חלקי מסת הזורם הנדחית על ידי העצם - כלומר חלקי מכפלת צפיפות הזורם בנפח הגוף. באופן כללי (עבור גופים בעלי צורה שרירותית), המסה המתווספת היא טנזור מסדר שני, הקושר את ווקטור התאוצה של הגוף לווקטור הכוח הפועל על הגוף^[1].

רקע

פרידריך בסל הציע את מושג המסה המתווספת ב-1828 כדי לתאר את התנועה של מטוטלת בזורם. בסל הבחין שגם כאשר מוציאים מן המשוואה את האפקט של אובדן אנרגיה של המטוטלת עקב החיכוך עם הזורם (דבר שלבדו תורם להתארכות זמן המחזור של המטוטלת), עדיין זמן המחזור של התנודה המטוטלת הבסיסית ארוך יותר מזו של מטוטלת זהה בריק, דבר שלאחר מחזורים רבים גורם להצטברות שגיאה בהוראת שעון המטוטלת. הוא הסיק שהדבר מעיד על כך שהאינרציה של המערכת (מסה אפקטיבית) גדלה עקב האינטראקציה עם הזורם מסביבה.

המושג של מסה מתווספת הוא הדוגמה הראשונה לרנורמליזציה בפיזיקה, וניתן לחשוב עליו כעל האנלוג מהפיזיקה הקלאסית של מושג הקוואזי-חלקיקים ממכניקת הקוונטים^{[דרושה הבהרה]}.

את האפקט של מסה מתווספת בזורם בלתי צמיג ניתן להבין באופן אינטואיטיבי באמצעות העובדה שכתוצאה מתאוצתו של הגוף בזורם, הזורם מסביב לגוף חייב להידחק הצידה בקצב משתנה ולכן לפתח מהירות ואנרגיה קינטית; אבל הגורם החיצוני היחיד שמבצע עבודה הוא הכוח הפועל על הגוף המאיץ, ולפיכך ניתן להסיק שהכוח מבצע עבודה נוספת פרט לזו התורמת למהירותו של הגוף. ההבדל בין האנרגיה הקינטית של הגוף לעבודה שביצע הכוח החיצוני הוא בדיוק האנרגיה הקינטית שקיבל הזורם (נשים לב שטיעון זה אינו תקף עבור תנועה במהירות קבועה, כי אז מתקבלת זרימה עמידה מסביב לעצם). מושג המסה המתווספת מרחיב במידת מה את הטיעון של פרדוקס ד'אלמבר: בעוד שהטיעון של ד'אלמבר מראה שבזורם בלתי צמיג תנועה במהירות קבועה אינה יוצרת כוח גרר, מושג המסה המתווספת מראה שעבור תאוצות בזורם בלתי-צמיג כן נוצר כוח גרר.

הכוח הנגרם על ידי אפקט המסה הווירטואלית

את הכוחות הלא יציבים הנגרמים אודות לשינוי המהירות היחסית של עצם המשוקע בזורם (יחסית לזורם) ניתן לחלק לשניים: אפקט המסה הווירטואלית וכוח באסט. אפקט המסה הווירטואלית מתייחס לכוח התגובה הפועל על הגוף עקב האינטראקציה שלו עם המסה המתווספת הנגררת על ידו.

ניתן להראות כי הכוח הנגרם ממסה וירטואלית בעבור חלקיק כדורי המשוקע בזורם בלתי צמיג ובלתי דחיס הוא^[2]:

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),}$

כאשר הסמלים המודגשים מייצגים ווקטורים, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ היא מהירות הזורם, ${\displaystyle \mathbf {v} }$ היא מהירות החלקיק הכדורי, ${\displaystyle \rho _{\mathrm {c} }}$ היא צפיפות המסה של הזורם, ${\displaystyle V_{\mathrm {p} }}$ היא הנפח של החלקיק, ו-D/Dt מייצגת את הנגזרת הזמנית.

מקורו של המושג של "מסה וירטואלית" הופך ברור כאשר מסתכלים על משוואת התנע של החלקיק.

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\right),}$

כאשר ${\displaystyle \sum \mathbf {F} }$ הוא הסכום של כל הכוחות האחרים הפועלים על החלקיק, כמו הכבידה, גרדיאנטי לחץ, כוח גרר, כוח עילוי, כוח באסט ועוד.

העברת הנגזרת של מהירות החלקיק מאגף ימין של המשוואה לאגף שמאל נותנת:

${\displaystyle \left(m_{\mathrm {p} }+{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}},}$

כך שהחלקיק מאיץ כאילו הייתה לו מסה נוספת השווה למחצית מסת הזורם שהוא מתיק ממקומו, וישנו גם כוח נוסף הפועל על הגוף עקב איבר התאוצה של הזורם.

יישומים

המסה המתווספת ניתנת לשילוב במרבית המשוואות הפיזיקליות על ידי התייחסות לעצם הנע כבעל "מסה אפקטיבית" השווה לסכום מסתו והמסה המתווספת. סכום זה הוא שמכונה לעיתים "מסה וירטואלית".

יישום פשוט של מושג המסה המתווספת בעבור גוף כדורי מאפשר לחוק השני של ניוטון להיכתב בצורה:

${\displaystyle F=m\,a}$ הופך ל- ${\displaystyle F=(m+m_{\text{added}})\,a}$.

ניתן להראות שהמסה המתווספת בעבור כדור (בעל רדיוס ${\displaystyle r}$) היא ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}}$, בדיוק חצי ממסת הזורם שהכדור מתיק ממקומו. בעבור גוף כללי, המסה המתווספת הופכת לטנזור (שמכונה טנזור המסה המושרית) עם רכיבים התלויים בכיוון התנועה של הגוף.

כל הגופים המאיצים בזורם יושפעו על ידי המסה המתווספת, אולם מכיוון שהמסה המתווספת תלויה בצפיפות הזורם, אפקט זה הוא לעיתים קרובות זניח בעבור גופים צפופים הנעים בזורמים בעלי צפיפות נמוכה בהרבה. במצבים בהם צפיפות הזורם היא בת-השוואה או אף עולה על צפיפות הגוף, המסה המתווספת עשויה לעיתים קרובות לעלות על המסה של הגוף עצמו כך שהזנחתה תביא לשגיאות עצומות בחישובים הנלווים.

לדוגמה, לבועת אוויר כדורית המתנתקת מתחתיתו של סיר מים ומתחילה להתרומם מעלה יש מסה ${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air}}}$ אולם מסה מתווספת של ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{water}}}$. כיוון שמים נוזליים צפופים בערך פי 800 מהאוויר, המסה המתווספת במקרה זה גדולה בקירוב פי 400 ממסת הבועה.

ארכיטקטורה ימית

העקרונות שתוארו מקודם תקפים גם לספינות, צוללות, ופלטפורמות חופיות. בתעשייה הימית, למסה המתווספת מתייחסים כמסה ההידרודינמית המתווספת. בתכנון ספינות, האנרגיה שנדרשת כדי להאיץ את המסה המתווספת חייבת להילקח בחשבון לפני יציאה להפלגה; במקרה זה, המסה המתווספת יכולה בקלות להגיע ל- ¼ או ⅓ מהמסה של הספינה ולפיכך מייצגת כמות משמעותית של אינרציה, זאת בנוסף על הכוחות של גרר טפילי (גרר צמיגות) וגרר גלים.

בעבור תצורות גאומטריות מסוימות השוקעות חופשית, המסה ההידרודינמית המתווספת המקושרת לגוף השוקע יכולה להיות גדולה בהרבה ממסת העצם. מצב כזה יכול לקרות למשל, כאשר לגוף השוקע יש פאה רחבה אשר הווקטור הניצב לה מצביע בכיוון התנועה (מטה). כמות משמעותית של אנרגיה קינטית משתחררת כאשר עצם כזה מאיט בפתאומיות (למשל עקב פגיעה בקרקעית הים).

בתכנון מבנים חופיים הנושא של המסה ההידרודינמית המתווספת בעבור גאומטריות שונות הוא מושא לחקירות רבות. המחקרים הללו נדרשים בדרך כלל כדי להעריך את הסיכונים הכרוכים בנפילה (שקיעה) של עצם מטה (המחקרים מתמקדים בכימות הסיכונים הנלווים לפגיעה של עצם שוקע במבנים תת-מימיים). כיוון שהמסה ההידרודינמית המתווספת יכולה להוות חלק ניכר מהמסה הכוללת של העצם השוקע ברגע הפגיעה, היא מהווה גורם משמעותי בתכנון העמידות של מבנים תת-מימיים.

אווירונאוטיקה

במטוסים (ולא למשל במקרה של כדור פורח או ספינת אוויר), הצפיפות של האוויר בדרך כלל לא נלקחת בחשבון בגלל הצפיפות הזניחה של האוויר.

הערות שוליים

1. Newman, John Nicholas (1977). Marine hydrodynamics. Cambridge, Massachusetts: MIT Press. §4.13, p. 139. ISBN 0-262-14026-8.
2. Added_Mass_Derivation_050916.pdf[1]