מכנה משותף

במתמטיקה מכנה משותף של שני שברים הוא מספר שלם ושונה מ-0 המתחלק בשני המכנים ללא שארית. הכפלת המונה והמכנה בכל שבר באותו מספר שלם (כך שערך השבר אינו משתנה) מאפשרת להביא את שניהם לצורה שבה יש להם אותו מכנה, וכך לבצע בקלות פעולות של חיבור וחיסור. המכנה המשותף החיובי הקטן ביותר הוא הכפולה המשותפת המינימלית של המכנים, וכל מכנה משותף אחר הוא כפולה של זה בקבוע שלם. המושג ניתן להכללה לכל קבוצה סופית של שברים.

דוגמה

המכנה המשותף המינימלי של ${\displaystyle \ {\frac {2}{15}}}$ ו- ${\displaystyle \ {\frac {3}{10}}}$ הוא 30. אפשר לכתוב ${\displaystyle \ {\frac {2}{15}}={\frac {4}{30}}}$ ו- ${\displaystyle \ {\frac {3}{10}}={\frac {9}{30}}}$, ולכן ${\displaystyle \ {\frac {3}{10}}-{\frac {2}{15}}={\frac {9}{30}}-{\frac {4}{30}}={\frac {9-4}{30}}={\frac {5}{30}}={\frac {1}{6}}}$.

לצורך ביצוע פעולת חיבור או חיסור אין צורך במכנה המשותף המינימלי דווקא, וכל מכנה משותף – מספר המתחלק בשני המכנים – יתאים. כך מתקבלת הנוסחה הכללית לחיבור שברים: ${\displaystyle \ {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bd}}+{\frac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}$, גם אם bd אינו המכנה המשותף המינימלי של b ו-d (כמו בדוגמה הקודמת, שבה ${\displaystyle \ bd=10\cdot 15=150}$).

בחוגים אחרים

בכל תחום שלמות אפשר להביא קבוצה סופית של שברים לידי מכנה משותף (למשל על ידי הכפלת כל המכנים זה בזה). מאידך, המכנה המשותף המינימלי (כזה המחלק כל מכנה משותף אחר) מוגדר היטב רק בתחומי שלמות מיוחדים, כגון תחומי פריקות יחידה (ובפרט גם תחומים ראשיים).

ראו גם

• כפולה משותפת מינימלית
• מחלק משותף מקסימלי

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: מכנה משתף

• מכנה משותף, באתר MathWorld (באנגלית)