כלל יום הדין

ג'ון קונוויי, ממציא אלגוריתם יום הדין.

כלל יום הדין (באנגלית: Doomsday rule) או אלגוריתם יום הדין (באנגלית: Doomsday algorithm) הוא אלגוריתם המאפשר לחשב את היום בשבוע שבו חל תאריך נתון בלוח השנה הגרגוריאני (ספירת הנוצרים). הוא נעזר בכך שללוח הגרגוריאני יש מחזוריות בת ארבע מאות שנה וכך האלגוריתם מוגדר לתמיד.

האלגוריתם, שמאפשר חישוב בראש, הומצא על ידי ג'ון הורטון קונוויי^[1] שקיבל השראה מעבודתו של לואיס קרול על אלגוריתם ללוח שנה נצחי.^[2]

עקרונות האלגוריתם

האלגוריתם מתבסס על כך שבכל שנה יש יום מסוים בשבוע (יום הדין) שכמה תאריכים קלים לזכירה חלים בו; לדוגמה, 4/4, 6/6, 8/8, 10/10, 12/12 והיום האחרון של חודש פברואר (28/2; וכאשר השנה מתחלקת ב-4, 29/2). יישום אלגוריתם יום הדין כרוך בשלושה שלבים:

1. קביעת "יום העוגן" של המאה.
2. שימוש ב"יום העוגן" לחישוב יום הדין של השנה.
3. בחירת התאריך הקרוב ביותר מאלה שנופלים על יום הדין (למשל 4/4, 6/6, 8/8) וספירת מספר הימים (מודולו 7) בין התאריך לבין התאריך שרוצים למצוא באיזה יום הוא חל.

ניתן להשתמש בטבלת ימי דין, כמפורט בהמשך, כדי לדלג על שלבים 1 ו-2.

הטכניקה חלה הן על לוח השנה הגרגוריאני והן על הלוח היוליאני, אף-על-פי שפעמים רבות "ימי הדין" שלהם יציינו ימים שונים.

האלגוריתם פשוט דיו לחישוב בראש, לכל אחד עם יכולות אריתמטיות בסיסיות. קונוויי יכול היה בדרך כלל לעשות את החישוב תוך פחות משתי שניות. כדי לשפר את מהירותו, הוא תירגל את החישובים בעזרת מחשב, שמתוכנת לשאול אותו לגבי תאריך אקראי בכל פעם בו הוא נכנס אליו.

טבלת ימי דין

כדי למצוא את יום הדין של השנה (לפי הלוח הגרגוריאני), ניתן להיעזר בטבלה הבאה. בהמשך הערך מופיעה שיטה למציאת יום הדין בלא טבלה.

טבלת ימי דין לפי הלוח הגרגוריאני

יום שני	יום שלישי	יום רביעי	יום חמישי	יום שישי	יום שבת	יום ראשון	יום שני	יום שלישי	יום רביעי	יום חמישי	יום שישי	יום שבת	יום ראשון
←	1944	1945	1946	1947	←	1948	1949	1950	1951	←	1952	1953	1954
1955	←	1956	1957	1958	1959	←	1960	1961	1962	1963	←	1964	1965
1966	1967	←	1968	1969	1970	1971	←	1972	1973	1974	1975	←	1976
1977	1978	1979	←	1980	1981	1982	1983	←	1984	1985	1986	1987	←
1988	1989	1990	1991	←	1992	1993	1994	1995	←	1996	1997	1998	1999
←	2000	2001	2002	2003	←	2004	2005	2006	2007	←	2008	2009	2010
2011	←	2012	2013	2014	2015	←	2016	2017	2018	2019	←	2020	2021
2022	2023	←	2024	2025	2026	2027	←	2028	2029	2030	2031	←	2032
2033	2034	2035	←	2036	2037	2038	2039	←	2040	2041	2042	2043	←
2044	2045	2046	2047	←	2048	2049	2050	2051	←	2052	2053	2054	2055
←	2056	2057	2058	2059	←	2060	2061	2062	2063	←	2064	2065	2066
2067	←	2068	2069	2070	2071	←	2072	2073	2074	2075	←	2076	2077
2078	2079	←	2080	2081	2082	2083	←	2084	2085	2086	2087	←	2088
2089	2090	2091	←	2092	2093	2094	2095	←	2096	2097	2098	2099	2100

ניתן לראות כי לפני שנה שאינה מעוברת יום הדין זז ליום הבא - זאת משום שמספר הימים בשנה שאינה מעוברת (365) מודולו 7 יוצא 1. לעומת זאת, לפני שנה מעוברת יום הדין זז ביומיים משום שמספר הימים בשנה מעוברת (366) מודולו 7 יוצא 2, ומכאן שתהא תזוזה של יומיים.

תאריכים קלים לזכירה שיוצאים תמיד ביום הדין

בכל שנה, תאריכים אלו (על פי הלוח הגרגוריאני) חלים ביום הדין.

חודש	תאריך	שיטת זכירה
ינואר	3/1 (שנה רגילה) או 4/1 (שנה מעוברת) 11/1 (שנה מעוברת)	היום השלישי בשלוש השנים הראשונות, והרביעי ברביעית כל הספרות אחד
פברואר	14/2 (שנה רגילה) 22/2 (שנה מעוברת) 28/2 (שנה רגילה) או 29/2 (שנה מעוברת)	יום ולנטיין כל הספרות שתיים היום האחרון של פברואר
מרץ	"0/3" 14/3 21/3	היום האחרון של פברואר יום פאי היום הראשון של האביב
אפריל	4/4	חודש זוגי
מאי	9/5	9 עד 5 בסבן אילבן
יוני	6/6	חודש זוגי
יולי	4/7 11/7	יום העצמאות האמריקאי 9 עד 5 בסבן אילבן
אוגוסט	8/8	חודש זוגי
ספטמבר	5/9	9 עד 5 בסבן אילבן
אוקטובר	10/10 31/10	חודש זוגי ליל כל הקדושים
נובמבר	7/11	9 עד 5 בסבן אילבן
דצמבר	12/12 26/12	חודש זוגי יום הקופסאות

מציאת יום הדין בלא טבלה

ישנם מספר אלגוריתמים למציאת יום הדין של השנה ללא טבלת שנים, כמו זו שמופיעה לעיל. השיטה מתבססת על חישוב התזוזות של הימים החל מ"יום העוגן" של המאה.

מציאת "יום העוגן" של המאה

לצורכי מציאת יום הדין נאמר כי מאה מתחילה בשנה המסתיימת בספרות 00' ונגמרת בשנה המסתיימת בספרות 99'.

כאשר ${\displaystyle c=\lfloor year/100\rfloor }$

עבור הלוח הגרגוריאני:

${\displaystyle (5\times (c{\bmod {4}})+{\rm {2){\bmod {7}}=anchor}}}$

עבור הלוח היוליאני:

${\displaystyle (6\times (c{\bmod {7}}){\bmod {7}}+{\rm {1){\bmod {7}}=anchor}}}$

כאשר 0=ראשון, 1=שני וכן הלאה עד 6=שבת.

מכאן ש:

מאה	יום העוגן
1800–1899	שישי
1900–1999	רביעי
2000–2099	שלישי
2100–2199	ראשון

חישוב יום הדין של השנה באמצעות יום העוגן של המאה

ישנם מספר אלגוריתמים למציאת יום הדין של השנה. דוגמה לאלגוריתם כזה הוא האלגוריתם הבא:

1. חלק את שתי הספרות האחרונות של השנה ב-12, ועגל כלפי מטה (פונקציית הערך השלם). קרא לתוצאה a.
2. שארית החלוקה מן השלב הקודם יקרא b.
3. חלק את b ב-4 ועגל כלפי מטה. נקרא לתוצאה c.
4. חבר את שלוש התוצאות (a,b,c). לסכום הוסף את ערכו של יום העוגן (ראשון=0, שני=1 וכן הלאה).
5. חלק את התוצאה ב-7. השארית היא ערכו של יום הדין (ראשון=0, שני=1 וכן הלאה).

כלומר:

${\displaystyle {\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor +y{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {y{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }+{\rm {anchor}}\right){\bmod {7}}={\rm {Doomsday}}\end{matrix}}}$

דוגמאות מלאות

דוגמה א'

נניח שנרצה למצוא את היום בשבוע בו חל ה-18 בספטמבר 1985. יום העוגן של המאה הוא רביעי (אינדקס 3), ועליו לפי האלגוריתם נוסיף את a, b, c.

• a הוא פונקציית הערך השלם של 85/12, כלומר 7.
• b הוא 85 מודולו 12, כלומר 1
• c הוא פונקציית הערך השלם של b/4, כלומר 0.

חיבור של a,b,c ויום העוגן יוצא 11. 11 מודולו 7 הוא 4, ומכאן שיום הדין של 1985 הוא חמישי (אינדקס 4). כעת נשווה את התאריך ליום דין קרוב, נניח ה-5/9. ההפרש בין שני התאריכים הוא 13 יום. נוסיף למספר זה את ערכו של יום הדין השנתי, ונגיע ל-17. 17 מודולו 7 הוא 3, ומכאן שה-18 בספטמבר 1985 חל ביום רביעי (אינדקס 3).

דוגמה ב'

נניח שנרצה למצוא את היום בשבוע בו פרצה מלחמת האזרחים האמריקנית בפורט סאמטר, שהיה ב-12 באפריל 1861. נוכל למצוא את יום העוגן באמצעות הטבלה שלעיל או לחשבו - 18 מודולו 4 הוא 2, כפול 5 הוא 10, ועוד 2 הוא 12, מודולו 7 הוא 5 (יום שישי). באמצעות חישוב a,b,c בדומה לדוגמה לעיל, סיכומם והוספת 5, נקבל 11. 11 מודולו 7 הוא 4, ומכאן שיום הדין היה בחמישי (אינדקס 4). נשתמש ביום הדין 4/4 שחל 8 ימים קודם לפני ה-12 באפריל. 8+4 הם 12. 12 מודולו 7 הוא 5 (יום שישי). מכאן שה-12 באפריל 1861 חל בשישי.

הערות שוליים

1. ג'ון הורטון קונוויי,
   "Tomorrow is the Day After Doomsday", Eureka,
   כרך 36, עמודים 28-31, אוקטובר 1973.
2. לואיס קרול,
   "To Find the Day of the Week for Any Given Date", Nature,

   31 במרץ 1887