מורוז, יליד סמילה, גדל במחלקת הנוער של מועדון הכדורגל צסק"א קייב. בשנת 1987, בגיל 17, עבר לקבוצת הצמרת הסובייטית דאז דינמו קייב. לאחר 5 שנים בדינמו קייב עזב מורוז את אוקראינה והגיע לישראל, בה שיחק במשך 3 עונות בקבוצות: הפועל כפר סבא, בני יהודה ומכבי יפו.
בשנת 1996 עזב מורוז את ישראל ועבר לשחק ברוסיה. הוא שיחק במשך 4 שנים בקבוצות מליגת המשנה הרוסית. בשנת 2001 שב לאוקראינה. בשנת 2003 פרש ממשחק פעיל.
נבחרות
מורוז שיחק בשורות נבחרת הנערים של ברית המועצות ואף זכה איתה באליפות העולם בשנת 1987. בהמשך שיחק בנבחרת הנוער ובנבחרת הצעירה של ברית המועצות. עם התפרקות ברית המועצות וכינון אוקראינה העצמאית הצטרף יורי מורוז אל הנבחרת הבוגרת של אוקראינה. הוא שותף במשחק אחד בלבד במדי הנבחרת - משחק ידידות מול נבחרת ארצות הברית בשנת 1992.
קריירת אימון
בסיום המשחק הפעיל פנה מורוז לקריירת אימון. מאז שנת 2004 הוא מאמן קבוצות נערים ונוער שונות. כיום (2018) מאמן יורי מורוז את קבוצת הנוער של דינמו קייב.
