קוטסור נולד במסה, אריזונה ב-24 ביולי 1968 לג'ודי ולאונרד סטיבן "לן" קוטסור, שהיה מפקד המשטרה של מסה.[1] כשהיה קוטסור בן תשעה חודשים, גילו הוריו שהוא חירש, ולמדו שפת סימנים כדי שהמשפחה תוכל לתקשר. הוריו עודדו את קוטסור לעסוק בספורט ולהתיידד עם ילדים שומעים בשכונה שלהם. הוא החל להתעניין לראשונה במשחק כשהיה תלמיד בבית הספר היסודי. בתיכון, המורה שלו לדרמה עודדה אותו להשתתף במופע הכישרונות, והוא ביצע מערכון פנטומימה, שהתקבל בחיוב והניע אותו לעסוק בתיאטרון.[2]
לאחר שסיים את בית הספר התיכון, התמחה בתחנת הטלוויזיה האמריקאית KTSP-TV. הוא אומנם שאף לביים סרטים, אבל במהלך ההתמחות הוא סייע לעורך ולא הרגיש מחובר לאנשים. הוא סיפר, ”חלום הבימוי שלי התפוגג לאחר שקיבלתי את העובדה שאני חי בעולם שלא משתמש בשפה שלי”.[3] לאחר מכן למד באוניברסיטת גאלדט משנת 1987 ועד שנת 1989 תיאטרון, טלוויזיה וקולנוע.[4]
כשקוטסור קיבל הצעת עבודה למשחק מהתיאטרון הלאומי ללקויי שמיעה, הוא נענה לה ועזב את גאלדט לסיבוב הופעות במשך שנתיים, והופיע בשתי הצגות. בשנת 1994 הוא החל לעבוד ב־Deaf West Theatre בלוס אנג'לס, שם שיחק וביים מספר הפקות.[4] על הבמה, התפקידים שלו כללו את סטנלי ב"חשמלית ושמה תשוקה" ולני ב"על עכברים ואנשים".[5]
בשנת 2001, קוטסור והשחקן לייל קאנוס לוהקו יחד בהפקה של המחזמר "Big River" משנת 1985. קוטסור וקאנוס גילמו שניהם את אביו של האקלברי פין, פאפ, כשקוטסור עושה את שפת הסימנים וקאנוס מדבר ושר. הצלחת המחזה הובילה אותו לעלות בברודוויי.[5] היה לו גם תפקיד משני ב-"Sue Thomas: F.B.Eye", הוא עבד גם כמומחה לשפת סימנים עבור התוכנית. מאז היו לו תפקידי טלוויזיה וקולנוע.[דרוש מקור]
ב-2012 כיכב קוטסור בהצגה "סיראנו", המבוססת על "סיראנו דה ברז'ראק". המחזה, בבימויו של סטיבן זאקס, הועלה לראשונה באפריל 2012.[4] בעקבות "סיראנו", קוטסור ביים את הסרט העלילתי "No Ordinary Hero: The SuperDeafy Movie", שיצא לאור ב-2013.[6]
בשנת 2021 הופיע קוטסור בסרט העלילתי "CODA", בתפקיד משני בתור אב חירש לבת מתבגרת שומעת. הבמאית שאן הדר ראתה לראשונה את הופעותיו בהפקות תיאטרון וליהקה אותו כחלק מהאנסמבל. על תפקידו בסרט זכה בפרס אוסקר לשחקן המשנה הטוב ביותר.
קוטסור אמור לככב ב-"Flash Before the Bang", דרמת ספורט עם שחקנים חירשים.[7]