טווח יציב (תורת החוגים)

בתורת החוגים, טווח יציב הוא ערך מספרי המותאם לחוג, ומהווה כימות אריתמטי לתכונות של קבוצות יוצרים. הטווח היציב הוגדר על ידי היימן בס ב-1960, על-מנת למדוד את היציבות של חבורות המטריצות ההפיכות מעל חוג בהקשר לתורת K שלו.

אם לחוג אנדומורפיזמים של מודול יש טווח יציב 1, אז המודול ניתן לצמצום: אם ${\displaystyle \ M\oplus P\cong M\oplus Q}$ ו-${\displaystyle \ \operatorname {End} (M)}$בעל טווח יציב 1, אז ${\displaystyle \ P\cong Q}$. מכאן אפשר להסיק שמעל חוג בעל טווח יציב 1, כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית ניתן לצמצום.

הגדרה

הטווח היציב של חוג R שווה למספר המינימלי n שעבורו, לכל ${\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n},a_{n+1}\in R}$ שעבורם ${\displaystyle \ Ra_{1}+\cdots +Ra_{n+1}=R}$, קיימים ${\displaystyle \ t_{1},\dots ,t_{n}\in R}$ כך ש-${\displaystyle \ R(a_{1}+t_{1}a_{n+1})+\cdots +R(a_{n}+t_{n}a_{n+1})=R}$; אם קיים כזה. הגרסה הימנית של הגדרה זו מביאה לאותו ערך מספרי. את הטווח היציב של R מסמנים ב-${\displaystyle \ \operatorname {sr} (R)}$.

דוגמאות

לכל שדה ולכל חוג קומוטטיבי מקומי יש טווח יציב 1. הטווח היציב של חוג המספרים השלמים הוא 2. הטווח היציב של חוג קומוטטיבי נתרי אינו עולה ביותר מ-1 על ממד קרול שלו. הטווח היציב של חוג הפולינומים ${\displaystyle \ k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ מעל שדה הוא n+1.

תכונות

לכל אידיאל I של R מתקיים ${\displaystyle \ \operatorname {sr} (R/I)\leq \operatorname {sr} (R)}$. עבור ${\displaystyle \ I=\operatorname {Jac} (R)}$, הרדיקל של ג'ייקובסון, מתקיים שוויון. במובן זה, הטווח היציב הוא תכונה של חוגים פרימיטיביים למחצה.

חוג בעל טווח יציב 1 הוא חוג סופי-דדקינד (כלומר אם ab=1 אז גם ba=1). בפרט, הטווח היציב של R הוא 1, אם ${\displaystyle \ a,b\in R}$ שעבורם ${\displaystyle \ Ra+Rb=R}$, קיים ${\displaystyle \ t\in R}$ כך ש-${\displaystyle \ a+tb}$ הפיך. כל חוג ${\displaystyle \pi }$-רגולרי חזק הוא בעל טווח יציב 1 ^[1]. לכל חוג מקומי למחצה יש טווח יציב 1. אם R בעל טווח יציב 1, אז כך גם כל חוג אנדומורפיזמים של מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו; בפרט, לחוגי המטריצות מעל R יש טווח יציב 1. בכיוון ההפוך, אם ${\displaystyle \ \operatorname {sr} (R)=1}$ ו-e אידמפוטנט של R, אז גם ${\displaystyle \ \operatorname {sr} (eRe)=1}$.

יש חסם כללי על הטווח היציב של חוגי מטריצות: אם ${\displaystyle \ \operatorname {sr} (R)=n}$ אז ${\displaystyle \ \operatorname {sr} (M_{k}(R))\leq 1+\lceil {\frac {n-1}{k}}\rceil }$.

הערות שוליים

1. Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 3293-3298 [1]