חוג של קבוצות

בתורת הקבוצות, חוג של קבוצות (Ring of sets) הוא אוסף לא ריק של תת-קבוצות הסגור לאיחוד והפרש. חוג קבוצות למחצה הוא אוסף לא ריק של תת קבוצות שהוא סגור לחיתוך, ובנוסף לכך הפרש קבוצות בו הוא איחוד זר סופי של איברים ממנו.

לחוגי קבוצות ולחוגים למחצה של קבוצות שימושים בתורת המידה; מוגדרות עליהן מידות חוגיות, אותן אפשר להרחיב למידות על סיגמא-אלגברה, לפי משפט ההרחבה של קרתאודורי.

הגדרה

תהי ${\displaystyle X}$ קבוצה נתונה.

משפחת תת קבוצות ${\displaystyle S}$ של ${\displaystyle X}$ תקרא חוג למחצה (Semiring) אם מתקיים:

• ${\displaystyle \phi \in S}$ (מכילה את הקבוצה הריקה)
• ${\displaystyle \forall A,B\in S:A\cap B}$ (סגורה לחיתוך)
• ${\displaystyle \forall A,B\in S\exists A_{1},...,A_{n}\in S\quad distinct:A-B=A_{1}\cup ...\cup A_{n}}$ (כל הפרש הוא איחוד סופי זר של איברים מ-${\displaystyle S}$)

משפחת תת קבוצות ${\displaystyle R}$ של ${\displaystyle X}$ תקרא חוג (Ring) אם מתקיים:

• ${\displaystyle \phi \in R}$ (מכילה את הקבוצה הריקה)
• ${\displaystyle \forall A,B\in S:A\cup B\in R}$ (סגורה לאיחוד)
• ${\displaystyle \forall A,B\in S:A-B\in R}$ (סגירות להפרש)

ראו גם

• אלגברה של קבוצות
• סיגמא-אלגברה