חוג פשוט למחצה

בענף המתמטי העוסק בחוגים, חוג פשוט למחצה הוא חוג המהווה מודול פשוט למחצה כמודול (שמאלי) מעל עצמו. תנאי זה סימטרי להחלפת ימין ושמאל.

המבנה של חוגים פשוטים למחצה (ארטיניים - ראו להלן) ידוע מאז משפטי המבנה של ג'וזף ודרברן ואמיל ארטין, והם מהווים אבן פינה בתורת המבנה הכללית של החוגים: לפי משפט ודרברן-ארטין, חוג ${\displaystyle R}$ הוא פשוט למחצה אם ורק אם הוא איזומורפי למכפלה ישרה ${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$ כאשר ${\displaystyle D_{i}}$ הם חוגים עם חילוק ו-${\displaystyle M_{n}(D)}$ הוא חוג המטריצות בגודל ${\displaystyle n\times n}$ מעל ${\displaystyle D}$.

לפי משפט משקה, עבור שדה ${\displaystyle F}$ וחבורה סופית ${\displaystyle G}$, חוג החבורה ${\displaystyle F[G]}$ הוא פשוט למחצה אם ורק אם המאפיין של ${\displaystyle F}$ לא מחלק את סדר החבורה.

ההגדרה

חוג נקרא פשוט למחצה אם, כמודול שמאלי מעל עצמו, הוא מהווה מודול פשוט למחצה. כלומר, אם הוא מתפרק לסכום של אידיאלים שמאליים מינימליים. מכיוון שלחוג יש איבר יחידה, די במספר סופי של אידיאלים כאלו.

בספרות מופיעה גם הגדרה חלשה יותר: חוג הוא פשוט למחצה במובן החלש אם חיתוך האידיאלים המקסימליים שלו הוא אפס. חוג הוא פשוט למחצה במובן החלש אם ורק אם הוא מכפלה תת-ישרה (כלשהי) של חוגים פשוטים, באופן אנלוגי לשימוש במלה "למחצה" במקרים אחרים בתורת החוגים: חוג הוא ראשוני למחצה אם הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים ראשוניים, ופרימיטיבי למחצה אם הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פרימיטיביים. חוג הוא פשוט למחצה במובן שלנו אם ורק אם הוא פשוט למחצה במובן החלש, וארטיני.

תכונות של חוגים פשוטים למחצה

התנאים הבאים שקולים עבור חוג עם יחידה ${\displaystyle R}$:

1. ${\displaystyle R}$ פשוט למחצה.
2. ${\displaystyle R}$ הוא מכפלה ישרה סופית של חוגים פשוטים ארטיניים, כלומר חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק.
3. ${\displaystyle R}$ הוא חוג ראשוני למחצה ארטיני.
4. כל מודול מעל ${\displaystyle R}$ הוא פרויקטיבי.
5. כל מודול ציקלי מעל ${\displaystyle R}$ הוא פרויקטיבי.
6. כל מודול מעל ${\displaystyle R}$ הוא אינג'קטיבי.
7. כל אידיאל שמאלי של ${\displaystyle R}$ הוא אינג'קטיבי כמודול.
8. כל מודול ציקלי מעל ${\displaystyle R}$ הוא אינג'קטיבי (Osofsky).
9. כל מודול מעל ${\displaystyle R}$ הוא פשוט למחצה.
10. כל סדרה קצרה מדויקת מעל ${\displaystyle R}$ מתפצלת.
11. כל אידיאל שמאלי של ${\displaystyle R}$ נוצר על ידי אידמפוטנט.

לפי משפטי גולדי, כל חוג גולדי ראשוני למחצה אפשר לשכן כחוג שברים בחוג פשוט למחצה. כל חוג רגולרי פון-נוימן נותרי הוא פשוט למחצה. הממד הגלובלי של חוג פשוט למחצה הוא 0.

חוגים פרימיטיביים למחצה

חוג שרדיקל ג'ייקובסון שלו הוא אפס נקרא פרימיטיבי למחצה (לפעמים גם "פשוט למחצה לפי ג'ייקובסון", או "${\displaystyle J}$-פשוט למחצה"). כל חוג פשוט למחצה הוא פרימיטיבי למחצה, אבל ההפך אינו נכון בדרך כלל. חוג פרימיטיבי למחצה ארטיני הוא פשוט למחצה.

קישורים חיצוניים

• חוג פשוט למחצה, באתר MathWorld (באנגלית)