חוג השברים המקסימלי

בתורת החוגים, חוג השברים המקסימלי של חוג ${\displaystyle R}$ הוא החוג הגדול ביותר שאפשר להציג כל איבר שלו כמנה של איברים מ-${\displaystyle R}$ (ראו הגדרה מדויקת להלן). הקשר בין החוג המקורי לחוג השברים המקסימלי אינו הדוק כמו הקשר אל חוג השברים הקלאסי, אבל בניגוד לאחרון, חוג השברים המקסימלי תמיד קיים.

רקע

הבנייה הקלאסית של שדה המספרים הרציונליים כשדה השברים של חוג המספרים השלמים מדגימה תופעה כללית בתורת החוגים הקומוטטיביים: כל תחום שלמות אפשר לשכן בשדה. כלומר, תחום שלמות אפשר להרחיב לחוג שאינו גדול מדי (כל איבר שלו הוא מנה של איברים מן התחום, ולכן כל שיכון של התחום שתמונתו מוכלת בחבורת ההפיכים של התמונה - למעט אפס, כמובן - מתרחב לשיכון של שדה השברים כולו) ואינו קטן מדי (לכל איבר שלו יש בחוג הפכי).

בתור הזהב של תורת החוגים נבדקו אפשרויות רבות להכליל רעיון זה למקרה הלא קומוטטיבי. במהרה התברר שלא כל תחום (היינו, חוג ללא מחלקי אפס) אפשר לשכן בחוג עם חילוק. Oystein Ore הוכיח שלחוג יש חוג שברים קלאסי, אם ורק אם הוא מקיים את תנאי אור (ביחס לאוסף האיברים הרגולריים). מכאן נובע שיש חוג שברים קלאסי לכמה מחלקות חשובות של חוגים: לכל חוג קומוטטיבי, לכל תחום PI (היינו, תחום שהוא אלגברה עם זהויות מעל שדה), ולכל חוג נותרי ימני ושמאלי.

הגדרה

נניח ש- ${\displaystyle R\subseteq T}$ הם חוגים. ${\displaystyle T}$ הוא חוג שברים כללי ימני של ${\displaystyle R}$, אם לכל ${\displaystyle x,y\in T}$ (${\displaystyle y\neq 0}$) יש איבר ${\displaystyle r\in R}$ כך ש- ${\displaystyle xr\in R}$ בעוד ש-${\displaystyle yr\neq 0}$. אפשר, כביכול, לכתוב ${\displaystyle x=(xr)r^{-1}}$, מנה של שני איברים ב-${\displaystyle R}$.

מתברר שלכל חוג יש חוג שברים מקסימלי ימני ${\displaystyle Q=Q_{max}^{r}}$, כך שלכל חוג שברים כללי (ימני) ${\displaystyle T}$ של ${\displaystyle R}$ יש הומומורפיזם יחיד מ-${\displaystyle T}$ אל ${\displaystyle Q}$, המרחיב את העתקת הזהות על ${\displaystyle R}$. עבור החוג הזה, ההומומורפיזם המובטח הוא תמיד שיכון.

כאשר חוג השברים הקלאסי (הימני) של ${\displaystyle R}$ קיים, הוא חוג שברים כללי, אבל חוג השברים המקסימלי עשוי להיות גדול ממנו. חוג השברים הקלאסי שווה לחוג השברים המקסימלי אם ${\displaystyle R}$ הוא חוג גולדי ימני פשוט למחצה; וגם אם ${\displaystyle R}$ הוא חוג קומוטטיבי המקיים את תנאי השרשרת העולה על מאפסים.

בנייה

Utumi בנה את חוג השברים המקסימלי (ב-1956) מאוסף האידיאלים הימניים הצפופים של החוג (אידיאל ימני ${\displaystyle U}$ הוא צפוף אם לכל ${\displaystyle a,b}$ בחוג, ${\displaystyle a\neq 0}$, קיים ${\displaystyle x}$ כך ש- ${\displaystyle ax\neq 0}$ ו- ${\displaystyle bx\in U}$). בניה זו מכלילה את אחת הבניות האפשריות של חוג השברים הקלאסי, שבה נעשה שימוש רק באידיאלים המכילים איברים רגולריים.

את חוג השברים המקסימלי של ${\displaystyle R}$ אפשר לבנות מתוך הסגור האינג'קטיבי, באופן הבא. יהי ${\displaystyle I}$ הסגור האינג'קטיבי של ${\displaystyle R}$ (כמודול ימני מעל עצמו). ${\displaystyle I}$ הוא מודול שמאלי אינג'קטיבי מעל ${\displaystyle H=\operatorname {End} (I_{R})}$, וחוג השברים המקסימלי (הימני) הוא ${\displaystyle Q=\operatorname {End} ({}_{H}I)}$. במילים אחרות, חוג השברים המקסימלי הוא המרָכז של המרָכז של (ההצגה הרגולרית הימנית של) ${\displaystyle R}$ בחוג האנדומורפיזמים של ${\displaystyle I}$ (כחבורה אבלית).

המרכז המוכלל

המרכז של חוג השברים המקסימלי נקרא המרכז המוכלל של החוג ${\displaystyle R}$. אם ${\displaystyle R}$ ראשוני, המרכז המוכלל הוא שדה.

מקורות

• T.Y. Lam, Lectures on Modules and Rings, 13B.