חבורה אלגברית פשוטה למחצה

במתמטיקה ובתורת החבורת, חבורה אלגברית פשוטה למחצה היא חבורה אלגברית שאין לה תת-חבורה נורמלית פתירה (לא טריוויאלית). בהקשרים רבים, הביטוי "חבורה פשוטה למחצה" כולל גם דרישה שהחבורה תהיה קשירה.

כל חבורה פשוטה למחצה היא ליניארית. כל חבורה פשוטה למחצה היא צורה של חבורה שאיזוגנית למכפלה של חבורות אלגבריות פשוטות.

אלגברת הלי של חבורה אלגברית פשוטה למחצה היא אלגברת לי פשוטה למחצה. עבור כל אלגברת לי פשוטה למחצה ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ קיים מספר סופי של חבורות אלגבריות פשוטות למחצה שאלגברת הלי שלהם היא ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. בידיוק אחת מהן פשוטת קשר ובידיק אחר מהן חסרת מרכז.

עץ מיון של חבורות אלגבריות

חבורה אלגברית חבורה אלגברית                                                           חבורה ליניארית חבורה ליניארית       חבורה קשירה חבורה קשירה                       יריעה אבלית[1] יריעה אבלית[1]                                 עקום אליפטי עקום אליפטי   חבורה רדוקטיבית[2] חבורה רדוקטיבית[2]   חבורה סופית חבורה סופית   חבורה ליניארית פתירה[2] חבורה ליניארית פתירה[2]   חבורה פשוטת קשר חבורה פשוטת קשר                                                       חבורה קלאסית[3] חבורה קלאסית[3]   חבורה פשוטה למחצה[2] חבורה פשוטה למחצה[2]   טורוס טורוס ${\displaystyle \,\cap }$   חבורת המטריצות המשולשיות חבורת המטריצות המשולשיות   חבורה אוניפוטנטית[4] חבורה אוניפוטנטית[4]                                                   חבורה כמעט פשוטה[5] חבורה כמעט פשוטה[5]   ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$           חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות חבורת המטריצות המשולשיות האוניפוטנטיות                           ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$                   חבורה פשוטה[6] חבורה פשוטה[6] ${\displaystyle \,\cup }$   חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה חבורה פשוטת קשר כמעט פשוטה ${\displaystyle \,\cup }$                                                       מקרא   מחלקה של חבורות אלגבריות או חבורה אלגברית בודדות; שם התואר "אלגברית/אלגברי" מושמט בדרך כלל.   מחלקה חשובה בתורת החבורות האלגבריות. ${\displaystyle \cup }$ מחלקה שמכוסה על ידי תתי-המחלקות שלה המופיעות בתרשים, אם שדה ההגדה סגור אלגברית. ${\displaystyle \cap }$ מחלקה המהווה חיתוך של המחלקות שמכילות אותה ומופיעות בתרשים.   מסלול שיורד למטה מצביע על כך שהמחלקה התחתונה היא חלק מהמחלקה העליונה איזוגניה   חבורה בודדת   סידרה של חבורות   מחלקה של חבורות המהווה סידרה אחת עם שדה ההגדרה סגור אלגברית.   משפחה חד-פרמטרית של חבורת   קבוצה דיסקרטית של חבורות   משפחה רחבה יותר של חבורות   ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$     ${\displaystyle PGL_{n}}$ ${\displaystyle PGL_{n}}$   ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle SL_{n}}$               ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle U(V)}$     ${\displaystyle PU(V)}$ ${\displaystyle PU(V)}$   ${\displaystyle SU(V)}$ ${\displaystyle SU(V)}$             ${\displaystyle O(V)}$ ${\displaystyle O(V)}$   ${\displaystyle PO(V)}$ ${\displaystyle PO(V)}$   ${\displaystyle Spin(V)}$ ${\displaystyle Spin(V)}$                   ${\displaystyle Sp_{2n}}$ ${\displaystyle Sp_{2n}}$   ${\displaystyle PSp_{2n}}$ ${\displaystyle PSp_{2n}}$                     ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{6}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{6}}$ פשוטת הקשר             ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה ${\displaystyle E_{7}}$ הפשוטה   ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר ${\displaystyle E_{7}}$ פשוטת הקשר         ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle E_{8}}$           ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle F_{4}}$           ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

לקריאה נוספת

• Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713
• Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012
• Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773
• Conrad, Brian (2014), "Reductive group schemes" (PDF), Autour des schémas en groupes, vol. 1, Paris: Société Mathématique de France, pp. 93–444, ISBN 978-2-85629-794-0, MR 3309122

קישורים חיצוניים

• De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University

הערות שוליים

1. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי.
2. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה.
3. למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות
4. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה.
5. לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה".
6. כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.