זרם הסתברות

במכניקת הקוונטים, זרם ההסתברות (לפעמים נקרא גם שטף ההסתברות) הוא גודל מתמטי המתאר את זרימת ההסתברות במרחב ביחידות מידה של הסתברות ליחידת זמן ליחידת שטח. אם מדמים את החלקיק כזורם הטרוגני שצפיפותו בכל נקודה היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק באותה נקודה, אז זרם ההסתברות הוא קצב הזרימה של הזורם הזה. גודל זה אנלוגי לזרימת מסה בהידרודינמיקה ולזרמים חשמליים בתורת האלקטרומגנטיות.

בתורת הקוונטים, זרם ההסתברות הוא למעשה המינוח היחיד בעזרתו ניתן לדבר על תנועה אקטואלית של חלקיק ממקום למקום; למשל, אם חבילת הגלים המייצגת חלקיק חופשי מתקדמת בכיוון מסוים במרחב בין הזמנים ${\displaystyle t_{1}}$ ל-${\displaystyle t_{2}}$, כך שברגע ${\displaystyle t_{2}}$ יש סבירות גבוהה יותר למצוא אותו באזור מסוים מאשר ברגע ${\displaystyle t_{1}}$, אז מקובל לומר שהייתה זרימת הסתברות נטו אל האזור.

הגדרה מתמטית במקרה החד-ממדי

נצא ממשוואת הרציפות של צפיפות ההסתברות:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0}$

כאשר צפיפות ההסתברות ${\displaystyle \rho \,}$ מוגדרת כ-:

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {x} ,t)\Psi (\mathbf {x} ,t)\,}$.

וננסה לקבל ביטוי לזרם ההסתברות j במונחי פונקציית הגל. נגזור לפי הזמן את הביטוי לצפיפות ההסתברות ${\displaystyle \rho \,}$ ונקבל:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}}$

כעת ניעזר במשוואת שרדינגר ונקבל את הביטויים הבאים לנגזרות הזמניות של פונקציית הגל והצמודה שלה:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+V\Psi )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi ^{*}}{\partial x^{2}}}+V\Psi ^{*})}$

אם נציב את הביטויים הללו בביטוי לנגזרת הזמנית של צפיפות ההסתברות יתקבל ביטוי שלא מערב את הפוטנציאל V:

${\displaystyle {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\Psi +{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}={\frac {i\hbar }{2m}}(\Psi _{x}^{''}\Psi ^{*}-\Psi _{x}^{*''}\Psi )}$

ביטוי זה הוא למעשה הגרדיאנט של זרם ההסתברות j, לכן על מנת לקבל את j יש למצוא את האינטגרל הלא מסוים שלו:

${\displaystyle j=-{\frac {i\hbar }{2m}}\int (\Psi _{x}^{''}\Psi ^{*}-\Psi _{x}^{*''}\Psi )}$

אינטגרציה בחלקים מאפשרת למצוא את הפונקציה הקדומה שלו, וכך מתקבלת הנוסחה לזרם ההסתברות החד-ממדי j:

${\displaystyle j=-{\frac {i\hbar }{2m}}({\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\Psi ^{*}-{\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\Psi )}$

דוגמאות

פוטנציאל מדרגה

פיזור פונקציית גל מפוטנציאל מדרגה סופי בגובה V₀. במקרה זה זרם ההסתברות הפוגע ${\displaystyle j_{I}}$ שווה לסכום זרם ההסתברות המוחזר ${\displaystyle j_{R}}$ וזרם ההסתברות המועבר ${\displaystyle j_{T}}$.

במקרה של חלקיק הפוגע בפוטנציאל מדרגה, שנייצגו על ידי פונקציית המדרגה הסטנדרטית, מטריצת S של הפיזור היא:

${\displaystyle S={\frac {1}{q+k}}{\begin{pmatrix}k-q&2q\\2k&q-k\end{pmatrix}}}$

כאשר ${\displaystyle q={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}}$ ו-${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}}$ הם מספרי הגל של החלקיק בכל אחד מהתחומים.

איברי המטריצה אינם מייצגים את זרמי ההסתברות, שכן זרם ההסתברות יחסי לריבוע משרעת פונקציית הגל ולמהירות החלקיק. לכן זרמי ההסתברות הם:

${\displaystyle j_{I}={\frac {\hbar k}{m}}A_{I}^{2}}$

${\displaystyle j_{R}={\frac {\hbar k}{m}}|A_{I}\cdot S_{22}|^{2}={\frac {\hbar k}{m}}A_{I}^{2}{\frac {(q-k)^{2}}{(q+k)^{2}}}}$

${\displaystyle j_{T}={\frac {\hbar q}{m}}|A_{I}\cdot S_{21}|^{2}={\frac {\hbar q}{m}}A_{I}^{2}{\frac {4k^{2}}{(q+k)^{2}}}}$

ניתן לראות שאכן מתקיים ${\displaystyle j_{I}=j_{R}+j_{T}}$, כלומר זרם ההסתברות הנכנס שווה לסכום הזרמים היוצאים.