זרימה בלתי דחיסה

במכניקת הזורמים או באופן כללי יותר במכניקת הרצף, זרימה בלתי דחיסה היא זרימה בה כל אלמנט זורם שומר על צפיפותו הראשונית במהלך הזרימה. באופן שקול, זרימה תהיה בלתי דחיסה כאשר הדיברגנץ של שדה המהירות הזורם שווה לאפס, כלומר שדה המהירות הוא שדה סולונואידי (שקילות התנאים תוכח בהמשך). זרימה בלתי דחיסה היא קירוב אידיאלי שלעולם לא מתקיים באופן מלא, אך השימוש בקירוב זה מוצדק כאשר השינויים בצפיפות קטנים ויכולים להיות מוזנחים.

זורם בלתי דחיס הוא תיאור הניתן לזורמים שבדרך כלל ניתן להתייחס לזרימתם כזרימה בלתי דחיסה. נוזלים הם זורם בלתי דחיס, בעוד גזים הם זורם דחיס וזרימתם יכולה להיות דחיסה או בלתי דחיסה. דחיסות של זורם מוגדרת על ידי השינוי היחסי בצפיפות הזורם בתגובה ללחץ אינפינטיסמלי המופעל עליו. לכן דחיסות נמוכה מתארת נוזל בלתי דחיס. מהגדרה זו ניתן לראות שגם נוזל בעל דחיסות נמוכה יכול להידחס תחת השפעת לחצים גבוהים, ושגם נוזל דחיס יכול להיחשב כלא דחיס אם שינוי הלחצים במערכת קטן. באווירונאוטיקה נהוג להניח שהזרימה היא בלתי דחיסה עבור זרימה במהירויות נמוכות מ-0.3 מאך ואפקטי דחיסות חשובים בזרימה מהירה יותר.

פיתוח

ההגדרה הבסיסית של זרימה בלתי דחיסה דורשת שהצפיפות, ${\displaystyle \rho }$, תהיה קבועה בנפח אנפיניטסימלי, ${\displaystyle dV}$, שנע במהירות הזורם ${\displaystyle \mathbf {u} }$. מבחינה מתמטית, ניתן לנסח אילוץ זה בכך שהנגזרת המלווה של הצפיפות מתאפסת, כלומר ${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0}$. כעת נוכיח שתנאי זה שקול לכך שדיברגנץ שדה המהירות מתאפס ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$.

לפי משוואת הרצף:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0}$

מצד שני, הנגזרת המלווה עבור אלמנט זורם הנע עם הזרימה מקיימת:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }}$

ועל ידי שימוש במשוואת הרצף נקבל:

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}}$

ולכן הדרישה לפיה ${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}=0}$ גוררת את הדרישה:

${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} }=0}$

כי הצפיפות של הזורם שונה מאפס בכל המרחב ולכן ניתן לחלק בה.

דחיסות

בשדות מסוימים, ניתן למדוד את האי-דחיסות של זורם על ידי שינוי בצפיפות כתוצאה משינוי בלחץ. זוהי דחיסות הזורם.

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}}$

אם הדחיסות מספיק קטנה, הזורם נחשב בלתי דחיס. הדחיסות של זורמים נמוכה מאוד, לדוגמה עבור מים בלחץ אטמוספירי בטמפרטורת החדר הדחיסות היא ${\displaystyle \beta \approx 5\times 10^{-5}atm^{-1}}$, בעוד הדחיסות של אוויר בתנאים אלו היא בערך ${\displaystyle \beta \approx 1\ atm^{-1}}$. לכן במערכת בה שינויי לחצים של מספר אטמוספירות, יהיה ניתן להתייחס למים כזורם בלתי דחיס, בעוד אוויר יחשב כדחיס.

זרימה לפלסיאנית

זרימה בלתי דחיסה היא זרימה בה דיברגנץ המהירות שווה לאפס. לפי משפט הפירוק של הלמהולץ כל שדה ניתן לפירוק כסכום של שדה בלתי דחיס ושדה לא רוטציוני. אם בזרימה בלתי דחיסה השדה הוא גם לא רוטציוני, כלומר אם רוטור שדה המהירויות שווה לאפס, אז שדה המהירויות הוא שדה לפלסיאני. כלומר קיים פוטנציאל ${\displaystyle \varphi }$ כך ש-${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi }$ והפוטנציאל מקיים את משוואת לפלס ${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0}$.

היחס לחומר הומוגני ובלתי דחיס

כפי שהוגדר מקודם, עבור זורם בלתי דחיס:

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

כלומר הנגזרת המלווה של הצפיפות שווה לאפס. בביטוי זה שני איברים: הראשון ${\displaystyle {\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}}$ מתאר את שינוי הצפיפות של אלמנט החומר בזמן. ביטוי זה נקרא גם הביטוי ה"לא יציב". הביטוי השני ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \rho }$ מתאר את שינוי הצפיפות עם תנועת האלמנט החומרי מנקודה לנקודה; זהו הביטוי של ההסעה עבור שדה סקלרי. על מנת שהזורם יהיה בלתי דחיס, סכום שני הביטויים צריך להתאפס.

באופן נפרד, חומר הומוגני ובלתי דחיס מוגדר כחומר בעל צפיפות קבועה, עבורו ${\displaystyle \rho ={\text{constant}}}$. ולכן, ${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0}$ ו-${\displaystyle \nabla \rho =0}$ באופן בלתי תלוי ובפרט מתקיים:

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

ולכן זרימה בתווך הומגני בלתי דחיס תמיד תהיה בלתי דחיסה, אך ההפך לא נכון וזרימה בלתי דחיסה איננה בהכרח זרימה הומגנית. עם זאת, במקרים מסוימים נעשה שימוש במונח זרימה בלתי דחיסה תוך כוונה לזרימה הומגנית בלתי דחיסה.

אילוצי זורם הקשורים לאי דחיסות

זרימה נחשבת בלתי דחיסה אם הדיברגנץ של מהירות הזורם מתאפסת. למרות זאת, משתמשים לפעמים בניסוחים קלים יותר, המגבילים פחות את שדה המהירות אך עדיין מאפשרים לפשט את משוואות הזרימה. גרסאות מסוימות מתוארות להלן:

1. זורם בלתי דחיס: ${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {u} =0}}$. ניתן להניח צפיפות קבועה (בלתי דחיס) או צפיפות משתנה. צפיפות משתנה קובעת פתרונות הכוללים שינויים קטנים בצפיפות, לחץ או שדות טמפרטורה, ויכולה להרשות עבור לחץ ריבוד בתחום.
2. זרימה לא אלסטית: ${\displaystyle {\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}}$. זרימה זו רלוונטית בעיקר בתחום של מדעי האטמוספירה, אילוץ זה מרחיב את הנחת הזרימה הבלתי דחיסה למצב בו הצפיפות מרובדת (וכך גם הטמפרטורה והלחץ). תחת האילוץ הזה זורם יכול לשנות את צפיפותו אם הוא נע מאזור בו הצפיפות ההתחלתית נמוכה לאזור בו הצפיפות ההתחלתית גבוהה (לדוגמה במצב בו אוויר משכבה גבוהה באטמוספירה זורם לעבר שכבה נמוכה) אבל לא באופן אחר. הנחה זו שקולה להזנחת גלי קול באטמוספירה. תנאי זה יכול משמש גם עבור מערכות שונות באסטרופיזיקה.^[1]
3. זרימה במספר-מאך נמוך/פסאודו-אי דחיסות: ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$. באמצעות שימוש במשוואת אוילר וניתוחן באמצעות משתנים חסרי ממדים ניתן להראות שהסרת גלי קול בתווך דחיס יכולה להיכתב באמצעות המגבלה הזו. כלומר, בזרימה תחת המגבלה הזו יכולות להיות הפרעות גדולות בצפיפות או בטמפרטורה אבל אין גלי קול. זרימה כזו מתקבלת עבור מטוס המתקדם במהירות נמוכה מבערך 0.3 מאך. כמו בכל זרימה בלתי דחיסה, התנאי נכון רק אם הסטייה מהלחץ חייבת להיות קטנה יחסית למצב הבסיסי של הלחץ.^[2]

הנחות אלו מתבססות על הנחות נבדלות לגבי הזורם, אבל כולן מגיעות לצורה הכללית של האילוץ ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta }$ עבור פונקציות ${\displaystyle \alpha }$ and ${\displaystyle \beta }$ התלויות במאפייני הזרימה.

קירובים נומריים של זורם בלתי דחיס

ההגבלה של הזרימה לזרימה בלתי דחיסה חמורה, ולכן נדרש פיתוח של שיטות מתמטיות מיוחדות לצורך פתרון משוואות התנועה לזרימה זו. חלק משיטות הן:

1. שיטת ההטלה (מקורבת ומדויקת)
2. שיטת הדחיסות המלאכותית (מקורבת)
3. הצגת אי הדחיסות כתנאי ראשוני לפתרון

הערות שוליים

1. Durran, D.R. (1989). "Improving the Anelastic Approximation" (PDF). Journal of the Atmospheric Sciences. 46 (11): 1453–1461. Bibcode:1989JAtS...46.1453D. doi:10.1175/1520-0469(1989)046<1453:ITAA>2.0.CO;2. ISSN 1520-0469. (הקישור אינו פעיל)
2. Almgren, A.S.; Bell, J.B.; Rendleman, C.A.; Zingale, M. (2006). "Low Mach Number Modeling of Type Ia Supernovae. I. Hydrodynamics" (PDF). Astrophysical Journal. 637 (2): 922–936. arXiv:astro-ph/0509892. Bibcode:2006ApJ...637..922A. doi:10.1086/498426.