התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו.

הגדרה

סדרת נקודות ${\displaystyle (x_{n})}$ במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־${\displaystyle x\in H}$ אם לכל ${\displaystyle y\in H}$, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$. זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא:${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$.

תכונות

• אם סדרת נקודות ${\displaystyle (x_{n})}$ מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: ${\displaystyle \langle x_{n},y\rangle -\langle x,y\rangle =\langle x_{n}-x,y\rangle \leq \|x_{n}-x\|\|y\|\rightarrow 0}$.
• כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם ${\displaystyle (x_{n})}$מתכנסת חלש ל־x אז ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},x\rangle =\|x\|^{2}}$ ומקושי שוורץ נקבל ש־${\displaystyle \|x\|^{2}=lim_{n\to \infty }\langle x,x_{n}\rangle \leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|\|x\|}$.
• מצד שני אם סדרת נקודות ${\displaystyle (x_{n})}$ מתכנסת חלש ל x וכן ${\displaystyle lim_{n\to \infty }\|x_{n}\|=\|x\|}$ אז ${\displaystyle (x_{n})}$מתכנסת ל x: ${\displaystyle \|x-x_{n}\|^{2}=\langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,x\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0}$.
• ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

משפט בנך-סאקס

משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי ${\displaystyle (x_{n})}$ סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}=x}$.

הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן ${\displaystyle (x_{n})}$מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה ${\displaystyle (n_{k})}$ באופן הבא הבא: ${\displaystyle n_{1}=1}$ וכן בהינתן ${\displaystyle n_{j}}$ לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־${\displaystyle \langle x_{n},x_{n_{j}}\rangle \rightarrow 0}$ לכל j<k ולכן יש m כך ש־${\displaystyle |\langle x_{m},x_{n_{j}}\rangle |<{\tfrac {1}{k}}}$ לכל j<k. נבחר את ${\displaystyle n_{k}}$ להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: ${\displaystyle \|{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}\|^{2}={\frac {1}{N^{2}}}(\sum _{k=1}^{N}\|x_{n_{k}}\|^{2}+2\Re (\sum _{1\leq i<j\leq N}\langle x_{n_{i}},x_{n_{j}}\rangle ))\leq {\tfrac {NM^{2}+2\sum _{k=1}^{N-1}{\tfrac {k}{k+1}}}{N^{2}}}\leq {\tfrac {M^{2}+2}{N}}\rightarrow 0}$ ונקבל את הדרוש.

הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב ${\displaystyle \mathbb {L} ^{p}}$כאשר ${\displaystyle 1<p<\infty }$)^[1].

דוגמאות

• תהי ${\displaystyle e_{n}}$ מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־${\displaystyle \|e_{n}\|=1}$, ברור ש־${\displaystyle e_{n}}$ איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי ${\displaystyle x\in H}$. מאי שוויון בסל נקבל ${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$ ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן ${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |\rightarrow 0}$ ולכן ${\displaystyle e_{n}}$ שואפת חלש לאפס.

לקריאה נוספת

• וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980.

קישורים חיצוניים

• התכנסות חלשה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. שיזו קאקוטאני, Weak Convergence in Uniformly Convex Spaces