הרחבת HNN

במתמטיקה, הרחבת HNN היא דרך לבנות חבורה חדשה מחבורה קיימת. לחבורות אלו שימושים רבים בתורת החבורות הקומבינטורית.

ההרחבה התגלתה בשנת 1949 על ידי המתמטיקאים גרהאם היגמן, ברנד נוימן והאנה נוימן, ונקראת על שם שלושתם.

הגדרה

בהינתן חבורה ${\displaystyle G}$ הנוצרת על ידי יוצרים ויחסים ${\displaystyle \left\langle S\mid R\right\rangle }$ ואיזומורפיזם ${\displaystyle \varphi :H\rightarrow K}$ בין שתי תתי חבורות של ${\displaystyle G}$, הרחבת ה-HNN של ${\displaystyle G}$ ביחס ל-${\displaystyle \varphi }$ היא החבורה ${\displaystyle \left\langle S,t\mid R,ht=t\varphi \left(h\right)\right\rangle }$ כאשר h נע על כל האיברים ב-${\displaystyle H}$. את החבורה המתקבלת מסמנים ב- ${\displaystyle G\ast _{\varphi }}$.

הבנייה מוסיפה משתנה חדש ${\displaystyle t}$, באופן שיתקיים ${\displaystyle t^{-1}Ht=K}$, כלומר ${\displaystyle t}$ מצמידה את ${\displaystyle H}$ ל-${\displaystyle K}$.

צורה נורמלית

הלמה של בריטון מאפשרת לכתוב כל איבר ${\displaystyle g}$ ב-${\displaystyle G\ast _{\varphi }}$ בצורה g₀t^ε1g₁t^ε1...t^εng_n, כאשר כל ה-εi הם 1 או 1-, אחרי כל t¹ בא איבר מ-H, ואחרי כל ^1-t בא איבר מ-K.

יתרה מכך, לכל הצגה של g בצורה הזאת, ε₁,...ε_n הם יחידים.

שימושים

השימוש המקורי של הרחבות HNN היה, בהינתן חבורה G ושתי תתי-חבורות איזומורפיות שלה, למצוא חבורה המכילה את G ובה הן צמודות. שימוש זה אפשר, למשל, להוכיח את קיומה של חבורה אינסופית עם שתי מחלקות צמידות (ובפרט פשוטה).

שימוש נוסף הוא בטופולוגיה אלגברית: בהינתן מרחב X שהחבורה היסודית שלו היא G, הרחבת HNN מאפשרת למצוא את החבורה היסודית של המרחב X בו "מדביקים" חלק שהחבורה שלו היא H לחלק שהחבורה שלו היא K. זהו אנלוג למשפט ואן קמפן המאפשר לבנות, בעזרת היתוך של שתי חבורות יסודיות של מרחבים את החבורה היסודית של הדבקה שלהם זה לזה.

שימוש חשוב נוסף הוא בתורת בס-סר. שם הרחבות HNN, ביחד עם היתוך, הן הבניות היסודיות מהן בונים את החבורה של כל גרף חבורות. הרחבת HNN משמשת ללולאות (קשת מקודקוד לעצמו), ואילו היתוך משמש לקשת בין קודקודים שונים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.