הרחבה רדיקלית

במתמטיקה, ובעיקר בתורת גלואה, הרחבה רדיקלית היא הרחבת שדות הנוצרת על ידי סיפוח של ביטוי שורשי לשדה הבסיס. לדוגמה, השדה ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{7}}]}$, המתקבל מסיפוח השורש הרביעי של 7 לשדה המספרים הרציונליים, הוא הרחבה רדיקלית (מממד 4) של ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, וגם הרחבה רדיקלית (מממד 2) של ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]}$.

הרחבות רדיקליות הן מן הפשוטות ביותר בהרחבות של שדות, והמשפט המרכזי של תורת גלואה מאפיין את ההרחבות המתקבלות באמצעות שרשרת של הרחבות כאלה.

הרחבה רדיקלית אפשר לתאר גם באמצעות הבניה הסטנדרטית של חוגי מנה. אם ${\displaystyle F}$ הוא שדה והפולינום ${\displaystyle x^{n}-a}$ אי--פריק מעליו, אז ${\displaystyle F[x]/\langle x^{n}-a\rangle }$ הוא הרחבה רדיקלית של ${\displaystyle F}$, הנוצרת מסיפוח השורש ה-${\displaystyle n}$-י של ${\displaystyle a}$. כל הרחבה רדיקלית אפשר לתאר באופן כזה.

כאשר ${\displaystyle F}$ כולל שורשי יחידה מסדר ${\displaystyle n}$, כל הרחבה ציקלית מממד ${\displaystyle n}$ מעל ${\displaystyle F}$ היא הרחבה רדיקלית, ולהפך - כל הרחבה רדיקלית היא ציקלית. בהיעדר שורשי יחידה, ההרחבות הרדיקליות אפילו אינן נורמליות. מעל שדות ממאפיין ${\displaystyle p}$, הרחבה רדיקלית מממד ${\displaystyle p}$ אינה ספרבילית.

ראו גם

• משפט ארטין-שרייר