הפרדוקס של ברטראן

שיטה 1 - "נקודת קצה אקראית": המיתר האקראי יוצא מקודקוד המשולש החסום במעגל אל נקודת קצה על היקף המעגל

שיטה 2 - "רדיוס אקראי": המיתר האקראי הוא אנך אמצעי לרדיוס של המעגל החוסם

שיטה 3 - "נקודת אמצע אקראית": המיתר האקראי נוצר על ידי קו ישר היוצא מנקודה אקראית בתוך שטח המעגל

הפרדוקס של ברטראן הוא מעין-פרדוקס שנוסח על ידי ז'וזף ברטראן, ועוסק בפרשנות הקלאסית של תורת ההסתברות. ברטראן, שפרסם את הדוגמה בספרו Calcul des probabilités, בשנת 1888, הדגים תופעה יסודית למרחבים אינסופיים. ההסתברות של מאורע תלויה בתהליך היוצר את התופעה האקראית, ואפילו את המושג התפלגות אחידה - כביכול, לכל האפשרויות יש אותה הסתברות - אפשר לפרש בדרכים שונות.

ניסוח הבעיה

משולש שווה-צלעות חסום במעגל. אם נעביר מיתר אקראי במעגל, מה ההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש?

ברטראן הציע שלוש שיטות שונות לפתרון הבעיה:
הדגמה בתרשימים, בהם יסומנו באדום מיתרים ארוכים יותר מצלע המשולש החסום במעגל, ובכחול - מיתרים קצרים יותר

1. "נקודת קצה אקראית" - בוחרים נקודה על היקף המעגל המשמשת גם כקודקוד למשולש החסום. בוחרים נקודה נוספת על היקף המעגל ומעבירים בין שתי הנקודות קו ישר. אם הנקודה הנוספת נמצאת על הקשת שמול הקודקוד (שאורכה שליש בדיוק מהיקף המעגל) - הרי שהמיתר ארוך יותר מאורך צלע המשולש, ובכל יתר המקרים המיתר יהיה קצר יותר. מכאן שההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש היא ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$.
2. "רדיוס אקראי" - בונים רדיוס במעגל ובונים מיתרים אנכיים לאותו רדיוס. מיתר יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש החסום במעגל - בתנאי שהוא קרוב יותר למרכז המעגל מאשר צלע של המשולש - מה שנכון למחצית המיתרים. לכן ההסתברות שהמיתר יהיה ארוך יותר מצלע המשולש היא ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.
3. "נקודת אמצע אקראית" - חוסמים מעגל במשולש. בוחרים נקודה אקראית בתוך המעגל הגדול (החוסם), ומשרטטים ממנה מיתר המאונך לרדיוס העובר דרך הנקודה. אם הנקודה שנבחרה נמצאת בתוך המעגל החסום, אז המיתר שיוצא ממנה יהיה ארוך יותר מאשר צלע של המשולש, ואם הנקודה שנבחרה איננה נמצאת בתוך המעגל החסום, אז המיתר שיוצא ממנה יהיה קצר יותר. הרדיוס של המעגל החסום הוא חצי מהרדיוס של המעגל החוסם, ולכן שטחו של המעגל החסום הוא ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ משטח המעגל החוסם. זו היא ההסתברות שנקודה אקראית בתוך המעגל החוסם תמצא גם בתוך המעגל החסום, ועל כן ההסתברות שמיתר יהיה ארוך יותר מצלע של המשולש היא ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$.

הסבר לפרדוקס

ההסבר לפרדוקס נעוץ בהבנת המושג "מיתר אקראי". המחשבה הנאיבית שניתן להגדיר התפלגות אחידה על קבוצה המיתרים באופן שהיא תשרה התפלגות אחידה על כל החלקים של המעגל, אינה נכונה. בכל שיטה למעשה הגדרנו התפלגות שונה על המיתרים, שאיננה אחידה בפרמטרים האחרים (למשל, אם קצות המיתר מתפלגים אחיד על היקפו, אין סיבה שמרכזו יתפלג אחיד בשטח המעגל, ולהפך) ועל כן אין בעיה שלאותה שאלה יהיו תשובות שונות.

צפיפות מיתרים על פי שיטה 1 - "נקודת קצה אקראית"

צפיפות מיתרים על פי שיטה 2 - "רדיוס אקראי"

צפיפות מיתרים על פי שיטה 3 - "נקודת אמצע אקראית"

הסבר מבוסס עיקרון "מקסימום הבורות"

בשנת 1973 הציע אדווין ז'איינס (באנגלית: Edwin Jaynes) פתרון לפרדוקס המבוסס על עיקרון "מקסימום הבורות".^[1] על פי העיקרון אסור לנו לנצל מידע, שאינו נתון המופיע בהגדרת הבעיה. הוא הצביע על העובדה שהפרדוקס של ברטראן אינו מגדיר את מיקומו ואת גודלו של המעגל. בהיעדר נתונים אלה כל פתרון צריך להיות אדיש לגודל של המעגל ולמיקומו.

איור להדגמת ההסבר של ז'איינס לפרדוקס של ברטראן

באיור מודגם ההסבר באמצעות הזזת המעגל הקטן בתוך המעגל הגדול. מקומו של המעגל הקטן בתוך המעגל הגדול אינו משנה את ההסתברות.

מבין השיטות להסבר הפרודקס לעיל רק שיטה 2 שומרת על אותה הסתברות ללא קשר למיקום וגודל. ההסתברות על פי שיטה 3 אינה תלויה רק בגודל ובהסבר על פי שיטה 1 משתנה ההסתברות עם שינוי הגודל ו/או המיקום.

ההסבר של ז'איינס מבוסס על עקרונות הסתברות בייסיאנית.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא הפרדוקס של ברטראן בוויקישיתוף

• הפרדוקס של ברטראן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. .E. T. Jaynes, The Well-Posed Problem, Foundations of Physics, 3, (1973), pp. 477-493