הלמה של גייל

במתמטיקה, הלמה של גייל היא למה העוסקת בפיזור כללי של נקודות על פני הספירה ה-n-ממדית. הלמה קובעת שלכל ${\displaystyle n}$ ו-${\displaystyle k}$ טבעיים קיימת קבוצה בת ${\displaystyle 2k+n}$ נקודות על פני הספירה כך שכל המיספירה פתוחה בספירה מכילה לפחות ${\displaystyle k}$ נקודות מהקבוצה. הלמה הוכחה על ידי דייוויד גייל (David Gale) ב-1956.

קל לראות שזוהי התוצאה הטובה ביותר שבגדר האפשר. לכל ${\displaystyle n}$ נקודות בספירה יש מעגל גדול ${\displaystyle n-1}$ ממדי שעובר דרך כולן, והוא מחלק את הספירה לשתי המיספרות בנות ${\displaystyle k}$ נקודות לכל היותר.

הוכחה

נוכיח טענה שקולה: קיימות קבוצה של נקודות ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}}$ ב-${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ כך שבכל חצי מרחב ${\displaystyle n+1}$ ממדי שמוגדר על ידי על-מישור העובר דרך הראשית (תת מרחב וקטורי ממעלה ${\displaystyle n}$) יש לפחות ${\displaystyle k}$ נקודות מהקבוצה. אפשר לתרגם טענה זו ללמה של גייל על ידי הטלה של ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ על ספירת היחידה ${\displaystyle S^{n}}$ באמצעות קרניים היוצאת מהראשית (דרך כל נקודה במרחב מעבירים קרן היוצאת מהראשית והנקודה מועתקת לנקודת החיתוך של הקרן עם הספירה).

נבנה את הנקודות ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{2k+n}}$. נסתכל על עקום המומנטים ה-${\displaystyle n}$ ממדי משוכן בעל-מישור בגובה 1: ${\displaystyle \gamma (t)=(1,t,t^{2},\ldots ,t^{n})}$. נגדיר: ${\displaystyle x_{i}=(-1)^{i}\gamma (i)}$ (למעשה יכולנו לבחור כל ${\displaystyle 2n+k}$ נקודות שונות על העקום). יהי ${\displaystyle h}$ על-מישור העובר דרך הראשית. אנו צריכים להוכיח שבכל צד שלו יש ${\displaystyle k}$ נקודות לפחות.

החיתוך בין ${\displaystyle h}$ לעל-מישור ${\displaystyle (1,t_{1},\ldots ,t_{n})}$ הוא על-מישור ${\displaystyle n-1}$ ממדי. על-מישור זה חותך את עקום המומנטים ב-${\displaystyle n}$ נקודות לכל היותר (ראו בערך עקום המומנטים). מכאן ש-${\displaystyle h}$ חותך את ${\displaystyle \gamma }$ ב-${\displaystyle n}$ נקודות לכל היותר. אם החיתוך לא מכיל בדיוק ${\displaystyle n}$ נקודות מתוך ${\displaystyle A=\{\gamma (1),\ldots ,\gamma (2k+n)\}}$ נזיז את ${\displaystyle h}$ כך שזה אכן יהיה. נעשה זאת כך: נתייחס אל נקודות החיתוך שכבר יש לנו עם ${\displaystyle A}$ כציר ונסובב את ${\displaystyle h}$ ביחס אליו עד ש-${\displaystyle h}$ יפגוש נקודה נוספת של ${\displaystyle A}$. נחזור על התהליך הזה שוב ושוב עד ש-${\displaystyle h}$ יחתוך את ${\displaystyle \gamma }$ בדיוק ${\displaystyle n}$ נקודות. מכיוון שבכל שלב שמרנו על נקודות החיתוך ולקחנו את האיבר הראשון של ${\displaystyle A}$ שפגשנו, בשום שלב לא העברנו נקודות של ${\displaystyle A}$ מצד אחד של ${\displaystyle h}$ לצד השני. לכן מספר הנקודות בכל צד של העל מישור יכל רק לרדת. כמו כן מכיוון שיש ${\displaystyle n}$ נקודות חיתוך, בהכרח ${\displaystyle \gamma }$ עובר מצד אחד של ${\displaystyle h}$ לצד השני בכל נקודת חיתוך.

נסמן את קבוצת ${\displaystyle n}$ הנקודות החיתוך ב-${\displaystyle A_{\text{on}}}$ ואת קבוצת ${\displaystyle 2k}$ נקודות ${\displaystyle A}$ שלא נמצאות על ${\displaystyle h}$ ב-${\displaystyle A_{\text{off}}}$. נצבע את נקודות ${\displaystyle A_{\text{off}}}$ באופן הבא: נקודה ${\displaystyle \gamma (i)}$ תהיה שחורה אם ${\displaystyle i}$ זוגי והנקודה נמצאת מימין ל-${\displaystyle h}$, או אם ${\displaystyle i}$ אי-זוגי והנקודה נמצאת משמאל ל-${\displaystyle h}$. בהתאמה נקודה היא לבנה אם ${\displaystyle i}$ זוגי והנקודה משמאל ל-${\displaystyle h}$, או אם ${\displaystyle i}$ אי-זוגי והנקודה מימין ל-${\displaystyle h}$. נבחין כי שתי נקודות סמוכות ב-${\displaystyle A_{\text{off}}}$ הן בצבעים שונים: אם בין ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\text{off}}}$ סמוכות יש מספר זוגי של נקודות מ-${\displaystyle A_{\text{on}}}$, אז הן באותו הצד ועם זוגיות שונה, ולכן צבעים שונים. ואם מפרידים ביניהן מספר אי-זוגי של נקודות מ-${\displaystyle A_{\text{on}}}$ הן בצדדים שונים ומאותה זוגיות ולכן בצבעים שונים.

מכיוון שהצבע מתחלף בין שתי נקודות סמוכות, יש בדיוק ${\displaystyle k}$ נקודות שחורות ובדיוק ${\displaystyle k}$ נקודות לבנות. אם ${\displaystyle \gamma (i)}$ נקודה שחורה, אז או שהיא מימין ל-${\displaystyle h}$ ו-${\displaystyle i}$ זוגי ולכן ${\displaystyle x_{i}=\gamma (i)}$ מימין ל-${\displaystyle h}$. או שהיא משמאל ל-${\displaystyle h}$ ו-${\displaystyle i}$ אי-זוגי ולכן ${\displaystyle x_{i}=-\gamma (i)}$ מימין ל-${\displaystyle h}$. קיבלנו שכל הנקודות השחורות מתאימות ל-${\displaystyle x_{i}}$ מימין ל-${\displaystyle h}$, ובאופן דומה כל הנקודות הלבנות מתאימות ל-${\displaystyle x_{i}}$ משמאל ל-${\displaystyle h}$, ולכן יש בדיוק ${\displaystyle k}$ נקודות מבין ${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}}$ בכל צד של ${\displaystyle h}$. נזכור שהזזנו את ${\displaystyle h}$ באופן שהחסיר נקודות מהצדדים, ולכן יש לפחות ${\displaystyle k}$ נקודות בכל צד של ${\displaystyle h}$ המקורית.