הלמה של גאוס (פולינומים)

הלמה של גאוס היא שמן המשותף של כמה טענות קשורות שהוכיח קרל פרידריך גאוס בתחום הפולינומים, שהעיקריות בהן:

1. המכפלה של שני פולינומים פרימיטיביים (כלומר, פולינומים שלמקדמים שלהם אין גורם משותף) מעל השלמים היא גם פרימיטיבית.
2. פולינום אי פריק מעל השלמים הוא אי פריק גם מעל הרציונליים.
3. חוג הפולינומים במקדמים שלמים ${\displaystyle \ Z[x]}$ הוא תחום פריקות יחידה.

הלמות האלה נותרות נכונות אם מחליפים את חוג המספרים השלמים ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ בתחום פריקות יחידה ${\displaystyle D}$ כלשהו (ואת שדה המספרים הרציונליים בשדה המנות של ${\displaystyle D}$). באופן כללי יותר בלמות 1 ו- 2 אפשר להחליף את ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ בתחום gcd כלשהו. גם את למה 3 אפשר להכליל לתחום gcd באופן הבא:

• אם ${\displaystyle D}$ הוא תחום gcd אז חוג הפולינומים מעל ${\displaystyle D[x]}$ מעל ${\displaystyle D}$ הוא תחום פריקות יחידה.

מטענה זאת נובע באינדוקציה שחוג הפולינומים במספר משתנים מעל תחום פריקות יחידה הוא תחום פריקות יחידה, ובפרט חוג הפולינומים מעל שדה במספר משתנים וחוג הפולינומים מעל ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ במספר משתנים הם תחומי פריקות יחידה.

מסקנה מיידית מלמה 2 היא הטענה הידועה כבר מימי קדם, הקובעת כי שורש ריבועי של כל מספר טבעי ${\displaystyle n}$ שאינו מספר ריבועי הוא מספר אי רציונלי; אם הפולינום ${\displaystyle x^{2}-n}$ אינו מתפרק לגורמים ליניאריים מעל חוג השלמים, אז הוא גם לא מתפרק לגורמים ליניאריים מעל שדה השברים שלו, קרי שדה הרציונליים.

הוכחה

קל למדי להסיק את הלמה השלישית מהשניה ואת השנייה מהראשונה.

הוכחה ללמה הראשונה

הוכחה מעל חוג השלמים

יהיו ${\displaystyle \ f(x),g(x)\in \mathbb {Z} [t]}$ פולינומים פרימיטייביים. אם יש למקדמי המכפלה גורם משותף שאינו הפיך, אז יש להם גורם משותף ראשוני, p. נקבל שבחוג הפולינומים מעליו ${\displaystyle \ (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )[x]}$ מתקיים השוויון fg=0. אולם זהו חוג פולינומים מעל שדה, ולכן הוא תחום שלמות, ומכאן ש ${\displaystyle f=0}$ או ${\displaystyle g=0}$. לכן לפחות אחד הפולינומים אינו פרימיטיבי.

המקרה הכללי

ההוכחה עבור הוא תחום פריקות יחידה כללי (או באופן כללי יותר עבור תחום gcd) דומה מאוד רק שבסוף צריך להשתמש בטענה הבאה:

• חוג הפולינומים מעל תחום שלמות הוא תחום שלמות.

קישורים חיצוניים

• הלמה של גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)