הלמה של בורל-קנטלי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.^[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי

יהי ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ מרחב הסתברות, ותהי ${\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }}$ סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא, $${\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}}$$.

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)<\infty }$, אז ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=0}$

הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.^[3] אם מתקיים כי ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\infty }$, אז ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}A_{i}\right)=1}$.

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע ${\displaystyle \limsup _{i}\left(A_{i}\right)}$ הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר ${\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset ...}$. נשים לב כי במקרה זה, ${\displaystyle \limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\left\{\exists _{j},A_{j}{\text{ occures}}\right\}}$. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים ${\displaystyle \left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }}$ שעבורה ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_{k}}^{c}\right)=\infty }$.

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות ${\displaystyle A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]}$ במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על ${\displaystyle \left[0,1\right]}$. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן ${\displaystyle \ A_{i}}$ גורר את ${\displaystyle \ A_{j}}$ לכל ${\displaystyle i<j}$. ואכן, למרות שמתקיים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty }$, עדיין ${\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0}$.

ראו גם

• משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
• מספר נורמלי

הערות שוליים

1. E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
2. F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
3. כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית ${\displaystyle i_{1},...,i_{k}}$, לכל קבוצת מאורעות ${\displaystyle A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}}$, מתקיים כי ${\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)}$.