הישר של סורגנפריי

בטופולוגיה, הישר של סוֹרְגֵנְפְרֵיי (באנגלית: Sorgenfrey Line) הוא מרחב טופולוגי שמוגדר על קבוצת הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$, כך שקבוצה פתוחה במרחב היא איחוד של קטעים חצי-פתוחים בממשיים, מהצורה ${\displaystyle [a,b)}$. המרחב קרוי על שמו של רוברט סורגנפריי ומסומן לעיתים כ-${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$.

פורמלית, טופולוגיית הישר של סורגנפריי מוגדרת באמצעות הבסיס ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\ell }=\{[a,b)\mid -\infty <a<b<\infty \}}$, והיא מכונה גם לעיתים טופולוגיית הגבול התחתון.

תכונות

• טופולוגיה זו מכילה ממש את הטופולוגיה הסטנדרטית על הממשיים. כלומר, כל קבוצה פתוחה לפי המטריקה הסטנדרטית, פתוחה גם לפי הישר של סורגנפריי, ויש קבוצות נוספות שאינן פתוחות בישר הסטנדרטי, כמו כל קטע חצי פתוח ${\displaystyle [a,b)}$.

• ההתכנסות בטופולוגיה זו שונה מההתכנסות בממשיים. כך למשל, בעוד שהסדרה ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ מתכנסת לאפס, הסדרה ${\displaystyle \left\{-{\frac {1}{n}}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ לא מתכנסת לאפס.

• כל קטע מהצורה ${\displaystyle [a,b)}$ או מהצורה ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ הוא קבוצה סגורה ופתוחה. לכן, לטופולוגיה זו ממד אפס.

• המרחב הוא בלתי קשיר לחלוטין.

• המרחב מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה, אך איננו מקיים את אקסיומת המנייה השנייה.

• כמסקנה מהתכונה האחרונה, המרחב הוא מרחב פרשה-אוריסון, כלומר מרחב בו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הרגיל.

• המרחב ספרבילי, למשל הרציונליים צפופים בו.

• המרחב לא מטריזבילי, מפני שכל מרחב מטריזבילי וספרבילי גם מקיים את תכונת מנייה שנייה.

• המרחב מקיים את אקסיומת ההפרדה ${\displaystyle {T}_{6}}$.
• המרחב הוא מרחב בייר אשר אינו מקיים את משפט הקטגוריה של בייר.

מרחב מכפלה

על ידי הכפלת מרחב זה בעצמו, ניתן לקבל מרחב מכפלה, ששומר על חלק מהתכונות של המרחב המקורי, אך חלקן גם אובדות או נחלשות.

בפרט, אם מכפילים פעמיים, מקבלים את המישור של סורגנפריי. המרחב שמתקבל הוא ספרבילי (כמכפלת שני מרחבים ספרביליים), ומהווה דוגמה למרחב בו ספרביליות לא עוברת בירושה לתתי מרחבים: האלכסון ${\displaystyle L=\{(x,-x)\mid x\in \mathbb {R} \}}$ הוא תת-מרחב לא ספרבילי. מכאן שספרביליות אינה תכונה תורשתית.

מרחב המכפלה ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}$ הוא רגולרי, אבל לא נורמלי. זוהי דוגמה לכך שמכפלה סופית של מרחבים נורמליים אינה בהכרח נורמלית (למרות שמכפלה סופית של מרחבים רגולריים היא רגולרית). מכאן נוכל לספק הסבר חלופי להסבר שניתן לעיל באשר לכך ש-${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }}$ איננו מרחב מטרי: אילו היה מרחב מטרי, אז גם ${\displaystyle \mathbb {R} _{\ell }\times \mathbb {R} _{\ell }}$ היה מטרי ולכן נורמלי, בסתירה.