היומן של גאוס

היומן של גאוס הוא תיעוד של תגליות מתמטיות של קרל פרידריך גאוס בשנים 1796 עד 1814. הוא נתגלה מחדש ב-1897 ופורסם על ידי פליקס קליין ב-1903, והודפס מחדש בכרך העשירי של אוסף העבודות שלו. היומן מכיל 146 תוצאות, ומתעד תגליות מגוונות בתחומי מתמטיקה שונים: מרביתם עוסקים בתורת המספרים, אלגברה ואנליזה; בחוקי הדדיות, שברים משולבים, שיטות סכימה ואינטגרציה שונות, הממוצע האריתמטי גאומטרי ועוד, ואילו מקצתם עוסקים באסטרונומיה וביסודות הגאומטריה. מן היומן עולה בבירור כי גאוס הקדים את זמנו ברבע מאה ופיתח את תורת הפונקציות האליפטיות, כמו גם החל לחקור את חוקי ההדדיות מסדר גבוה יותר (מסדר שלישי ורביעי).

ג.וולדו דונינגטון כותב בביוגרפיה שלו על גאוס:"היומן הזה הוא מעל לכל עדות חיה ונושמת לקצב שבו רעיונות חדשים פרחו בתודעתו של גאוס מוקדם בקריירה שלו; כה מהר עד שהם נדמים כחופפים אחד לשני".

הערות לדוגמה

רוב ההערות הן תיאור מקוצר ולעיתים קביעה מוצפנת של תוצאות בלטינית.

הערה 1, מתאריך 30 במרץ 1796, קובעת "Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisibilitus eiusdem geometrica in septemdecim partes etc.", ומתעדת את תגליתו של גאוס על היתכנות הבנייה של המצולע המשוכלל בן ה-17 צלעות.

הערה 10, מתאריך 10 ביולי 1796, קובעת "ΕΥΡΗΚΑ! num = Δ + Δ + Δ" ומתעדת את הגילוי וההוכחה לכך שכל מספר ניתן להצגה כסכום של 3 מספרים משולשים, מקרה פרטי של משפט המספרים המצולעים של פרמה.

הערה 43, מתאריך 21 באוקטובר 1796, קובעת "Vicimus GEGAN". משמעותה אינה ברורה.

הערה 107, מתאריך 16 במאי 1800, היא על מציאת כלל לחישוב מועד חג הפסחא. גאוס פיתח אלגוריתם יעיל למטרה זו. באמצעות הכלל שפיתח מצא גאוס את תאריך הולדתו.

הערה 113, מתאריך 25 באוקטובר 1800, מתעדת תגלית עמוקה על שכיחותם של מספרים טבעיים מסוימים בפיתוח לשבר משולב של משתנה מקרי המתפלג באופן אחיד בקטע (0,1), אותה הוא מנסח בצורה של חוק התפלגות אסימפטוטי. ההערה הזו והתוצאות המתוארות בה מרשימות במיוחד לאור העובדה שהן נכתבו יותר ממאה שנה לפני שתורות מודרניות כמו תורת המידה והתורה הארגודית נוצרו. המחקר המתמטי על הבעיה שתיאר גאוס הוביל לאינטראקציה פורייה בין מחקר שברים משולבים לאנליזה פונקציונלית.

הערה 145, נוגעת לאסטרונומיה, וגאוס כותב בה כי גילה שיטות חדשות לחישוב מסלולי שביטים.

הערה 146, מתאריך 9 ביולי 1814, היא ההערה האחרונה, ומתעדת תצפית על שאריות דו - ריבועיות ופונקציות הלמניסקטה, שמאוחר יותר הוכחה על ידי Gustav Herglotz ב-1921^[1]. ביותר פירוט, גאוס הבחין שאם ${\displaystyle a+bi}$ הוא ראשוני (גאוסיאני) ו-${\displaystyle a-1+bi}$ מתחלק ב- ${\displaystyle 2+2i}$, אז מספר הפתרונות לקונגרואנציה ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+x^{2}y^{2}\equiv 1\mod {(a+bi)}}$, כולל ארבע "הנקודות באינסוף" (x=∞, y=±i ו-∞=x=±i, y), הוא בדיוק ${\displaystyle (a-1)^{2}+b^{2}}$. בשפה מתמטית מודרנית, גאוס מנה את מספר הנקודות בעלות תכונה מסוימת על עקום אליפטי מסוים. הרעיונות המתמטיים מאחורי התוצאה הזו הם קדימון להתפתחויות שהחלו יותר ממאה שנים מאוחר יותר^[2]; הניסוח של התנאים המדויקים בהם היא מתקיימת, במסגרתו סופר גאוס גם נקודות באינסוף, מעיד בין היתר שהוא החל לחשוב על המידע האריתמטי הגלום בעקומים פרויקטיביים (בדומה למשפטים מודרניים יותר מגאומטריה אלגברית). אנדרה וייל ציין כי הייתה זו ההערה הזו במיוחד ושני מאמריו של גאוס על שאריות דו - ריבועיות שהובילו אותו לנסח את השערות וייל.

הערות שוליים

1. Early History of the Riemann Hypothesis in Positive Characteristic [1]
2. [2] Gauss: The Last Entry