החבורה הדיהדרלית האינסופית

בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.

מבוא והגדרה

חבורה דיהדרלית סופית ${\displaystyle D_{n}}$ נוצרת על ידי סיבוב ${\displaystyle r}$ של ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{n}}}$ ושיקוף ${\displaystyle s}$; כאשר סדר החבורה סופי, הסיבוב גם הוא בעל סדר סופי: ${\displaystyle r^{n}=1}$. בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס ${\displaystyle srs=r^{-1}}$.

בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים ${\displaystyle r,s}$, המקיימים ${\displaystyle s^{2}=1}$ ו-${\displaystyle srs=r^{-1}}$. זוהי חבורה אינסופית, המסומנת ${\displaystyle \operatorname {D} _{\infty }}$ או ${\displaystyle \operatorname {Dih} _{\infty }}$.

תכונות

• כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו-${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: ${\displaystyle \operatorname {D} _{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} _{2}}$
• על ידי החלפת המשתנים ${\displaystyle r}$ ב-${\displaystyle sr}$, ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: ${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle }$ - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}}$.
• חבורת האיזומטריות של ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ איזומורפית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.

ראו גם

• החבורה האורתוגונלית (O(2