אלגברת לי פתירה

באלגברה מופשטת, אלגברת לי היא פתירה אם סדרת הנגזרת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים. לאלגברות לי פתירות יש תפקיד חשוב בתורת המבנה של אלגברות לי, והן קשורות גם לאלגברות נילפוטנטיות ופשוטות למחצה.

הגדרה

תהי ${\displaystyle L}$ אלגברת לי מעל שדה ${\displaystyle F}$. סדרת הנגזרת של ${\displaystyle L}$ היא הסדרה המוגדרת על ידי ${\displaystyle {L}^{(0)}=L,{L}^{(n)}=[{L}^{(n-1)},{L}^{(n-1)}]}$. בפרט, ${\displaystyle L^{(1)}=[L,L]=\left\{\sum _{i=1}^{n}{[{x}_{i},{y}_{i}]}\mid {x}_{i},{y}_{i}\in L,n\geq 1\right\}}$.

במילים אחרות, הסדרה היא ${\displaystyle L,[L,L],[[L,L],[L,L]],...}$.

${\displaystyle L}$ נקראת פתירה אם סדרת הנגזרת שלה מתאפסת החל ממקום מסוים, כלומר קיים ${\displaystyle n}$ כך ש-${\displaystyle {L}^{(n)}=0}$.

תכונות

• כל אלגברת לי אבלית היא פתירה.

• כל אלגברת לי נילפוטנטית היא פתירה.

• כל תמונה אפימורפית ואלגברת מנה של אלגברת לי פתירה הם פתירים.

• אם ${\displaystyle I}$ אידיאל של אלגברת לי ${\displaystyle L}$, כך ש-${\displaystyle I}$,${\displaystyle L/I}$ פתירים, אז ${\displaystyle L}$ פתירה.

• סכום של שני אידיאלים פתירים הוא פתיר, לפי משפט האיזומורפיזם השני.

• לפי משפט לי, בכל תת-אלגברת לי פתירה של אלגברת האנדומורפיזמים ניתן להציג את כל איברי האלגברה כמטריצות משולשיות עליונות.

הרדיקל

הרדיקל של אלגברת לי נתונה הוא האידיאל הפתיר המקסימלי שלה. אידיאל כזה קיים ויחיד לפי התכונה החמישית לעיל, ומסומן על ידי ${\displaystyle \operatorname {Rad} (L)}$. אפיון נוסף שלו הוא הסכום של כל האידיאלים הפתירים.

אלגברת לי בעלת רדיקל טריוויאלי נקראת אלגברת לי פשוטה למחצה. במילים אחרות, זוהי אלגברת לי ללא אידיאלים פתירים. אלגברות מסוג זה מהוות מוקד מרכזי במיון של אלגברות לי, ויש להן מיון מלא.

ראו גם

• משפט לי
• קריטריון קרטן

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, p. 10-11

קישורים חיצוניים

• אלגברת לי פתירה, באתר MathWorld (באנגלית)